陕西师范大学《数值分析》第二章 方程求根.pptxVIP

讲授：

函数方程求根的常用数值方法的构造技术；

重点论述:

二分法、简单迭代法、牛顿迭代法及其变形的原理、构造、收敛性等。第二章非线性方程的求根方法

§2.2基本概念第2章方程求根

1、概念函数方程：f(x)=0，f(x)是x的连续函数；非线性方程:f(x)不是x的线性函数的函数方程；代数方程:超越方程:f(x)不是多项式函数的函数方程。

在非线性方程中，绝大部分是没有求根公式的，因此寻找求近似根的方法是非常重要!求根问题3要素：根的存在性、根的范围、根的精确化。根的精确化是方程求根问题的核心！求根方法有2类：区间法、迭代法。求根方法共同点：构造收敛根的数列

收敛阶为p或方法具有p阶敛速：这里方法线性收敛：当p＝1且C1时方法平方收敛：当p＝2时方法超线性收敛：当p1时收敛阶越大，收敛越快，方法越好！

§2.3二分法第2章方程求根

二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。1、基本思想利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小构造点列来逼近根。

2、构造原理设连续函数f(x)在[a,b]只有一个根，满足f(a)f(b)01）记I?=[a,b],取区间中点2）判别f(x?)的值a.若f(x?)=0,则x*=x?,停止b.若f(x?)f(a)0,记否则,记I1=[x?,b]

3、分析1）求根数列记第k次二分得到的含根区间为则二分法对应的求根数列算式为2）收敛性

3）计算次数控制

4、二分法的误差估计事先估计事后估计事先估计的k往往偏大，主要用于理论估计。事后估计的k往往较小，主要用于实际控制。

例1：用二分法求方程在区间[1,2]内的根，绝对误差解：可知方程在[1,2]内有唯一根，二分法可用。

得近似解

§2.4简单迭代法第2章方程求根

1、基本思想利用对方程f(x)=0做等价变换根不发生变化的特点，将方程等价变形获得迭代计算公式简单迭代法是现代迭代技术及理论的基础。

2、构造原理1）将方程f(x)=0改写成x=φ(x)等价形式;2）构造迭代公式3)取定一个初值x?，由迭代公式算出数列迭代函数：迭代数列：不动点方程根x*称为不动点

3、分析1）简单迭代法的几何意义方程的根是y=x与y=φ(x)交点横坐标.在根的附近有如下4种结构：

2）收敛性图像上看按简单迭代法计算产生的数列不一定收敛，但若收敛其能收敛到根吗？假设说明迭代数列的极限就是所求的根，故用简单迭代法求根是可行的。

一个方程会有很多不动点方程，如那么所有不动点方程构造的迭代数列都收敛吗？答案是否定的。（见书例）

3）判别收敛的充分条件定理1设迭代函数φ(x)满足两个条件则有1、φ(x)在[a,b]中有唯一的不动点x*;重要定理！

证明：存在性作辅助函数由中值定理，有条件1不动点唯一性条件2矛盾！

收敛性由条件2

例2.证明迭代格式产生的数列是收敛的。证明:由迭代格式可知迭代函数为取其定义区间为实数R，有取L=0.51,则由定理有所证。

定理1的条件2不易操作，注意到可得如下推论：推论1：设迭代函数φ(x)满足也有定理1结论。

例3给出求方程根的迭代公式。解：考虑方程的图形交点，可知：原方程只有一个在1附近根，取不动点方程

由推论1，迭代公式可以求出方程的根。构造收敛迭代格式的关键点：1、选择含有唯一根的区间[a,b];2、挑选迭代函数φ(x)；3、检验条件1和条件2，要给出具体L值；4、检验条件不成立时，重选[a,b]或φ(x)再检验。

在x较大的范围满足不容易做到，但在较小范围还是较容易做到。局部收敛:方法在根的附近取初值才能保证收敛.全部收敛:方法没有要求在根附近取初值，就可以保证收敛.二分法是全局收敛的，简单迭代法一般是局部收敛的。

4、局部收敛定理1、x*是迭代函数φ(x)的不动点；2、φ(x)且在点x*处连续则有该定理利用不动点（符号，不是具体数字）就能判别收敛，但注意是充分条件。

证明：只给出1的证明。由定理有

5、误差估计和收敛速度定理：在收敛定理的条件下，简单迭代法有如下误差估计式事后估计事先估计

证明只证1）

另一方面，有迭代计算控制

例5：用简单迭代法求方程在x=1附近的根，计算结果准确到4位有效数字。解:先确定含唯一根区间，以找到区间[a,