陕西师范大学《数值分析》第七章 微分方程数值解.pptxVIP

讲授：

求常微分方程初值问题的公式构造技术和有关知识。

重点论述:

Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法原理、构造、局部截断误差和稳定性等。第七章常微分方程初值问题数值解法

§7.2基本概念第7章微分方程数值解法

1、常微分方程初值问题1）一般形式已知函数初始条件2）数值方法3）数值解

设区间[a,b]上的一组节点为步长：求数值解一般是从初值开始按递推方式求解，即：初值问题的解法有单步法和多步法：单步法：多步法：数值解法还有显格式和隐格式之分。

2、基本思想用数值微分法、数值积分法、Taylor展开法等离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解。初值问题化为差分方程的方法：1）用离散方法去掉微分方程中的导数得到近似离散化方程；2）在近似离散化方程中用3）在近似离散化方程中将“?”换为“=”

3、构造过程1）数值微分法得近似离散化方程用数值微分的2点前差公式代替导数，有

用初值问题化为差分方程的方法得到差分方程整理得Euler公式是显式单步法。

2）数值积分法可得用数值积分采用梯形公式得近似离散化方程梯形方法是隐式单步法

3）Taylor展开法函数y(x)的Taylor展式为取上式右端前2项，得近似离散化方程:

§7.3数值解法的误差、阶与绝对稳定性第7章微分方程数值解

概念1)单步法数学描述显式：隐式:增量函数与f(x,y)有关。

2)与函数y(x)有关的一些说明解y(x)在的准确值，没有误差；的近似值，是数值解，有截断误差；计算给出的计算解，有舍入误差。

3)方法误差、阶、稳定性整体截断误差:局部截断误差:P阶方法(精度）:方法的阶越高，方法越好。:主局部截断误差:

14回顾或有若函数f(x)在x?的某邻域内有n+1阶导数,函数f(x)在x?处展开的泰勒公式:介于x与x?之间.则有f(x):

例:常微分方程初值问题的单步法为试求其局部截断误差主项并确定其精度阶。这里初值问题及步长h为解：

故局部截断误差主项是精度是一阶。同阶无穷小O运算规则：

数值方法是绝对稳定的：的舍入误差，试验方程绝对稳定域：绝对稳定区间：绝对稳定域与复平面实轴的交。绝对稳定域越大，方法的绝对稳定性越好。

§7.4Euler方法的有关问题第7章微分方程数值解

1、Euler方法的几何意义Euler方法常称为折线法。

2、Euler方法的误差Euler方法的局部截断误差:Euler方法的总体截断误差:说明Euler方法计算所得数值解可以逼近准确解，从而Euler方法是收敛的。

3、Euler方法稳定性将Euler公式用于试验方程:得到设计算时有舍入误差:Euler方法绝对稳定域为Euler方法绝对稳定区间为

22若指定?是负实数，则有当步长h满足Euler方法绝对稳定区间为可保证Euler方法的计算绝对稳定。

例：设初值问题为取h=0.025,用Euler方法求其数值解并与其准确解作比较。解本题准确解为Euler法计算公式为

直接计算结果与对应准确值的误差有如下表计算结果波动大，不稳定，计算结果失真！原因：h的稳定性范围为本题的h=0.025〉0.02，故计算结果不稳定。

4、改进的Euler方法预测：校正：称为预测—校正公式。易证它也是二阶方法。Euler方法梯形方法

§7.5Runge-Kutta方法第7章微分方程数值解

2、基本思想将微分方程初值问题转化为积分方程问题，再对积分方程中的定积分使用待定的m点插值型求积公式构造高阶的函数展开模式以获得高阶数值方法。理论上，由Taylor展开法可以构造出解初值问题的高阶数值方法，但这涉及到要计算的高阶导数，因此很不方便。本节的Runge-Kutta方法从函数本身着手，避开计算的高阶导数来构造高阶数值方法。

3、构造原理用m个点的插值型求积公式，得近似离散化方程R-K一般公式

利用Taylor展开式对参数适当选择就可以构造高阶方法。Runge-Kutta方法的增量函数：Runge-Kutta方法

4、构造过程m=2的Runge-Kutta方法的构造过程：R-K公式其增量函数为

引进符号函数在x处做Taylor展开，有

增量函数在(x,y)做二元Taylor展开，有取

33从方程组解出即得到一组二阶Runge-Kutta公式。因方程组有3个方程4个参数，有无穷多解，如改进的Euler公式

5、Runge-Kutta方法的阶与级的关系计算f(x,y)的次数m:1234567对应方法的最高阶123