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PAGE PAGE 3 精品教育  圆锥曲线 设而不求法典型试题剪辑 在求解直线与圆锥曲线相交问题，特别是涉及到相交弦问题,最值问题,定值问题的时候，采用“设点代入”(即“设而不求”)法可以避免求交点坐标所带来的繁琐计算，同时还要与韦达定理,中点公式结合起来,使得对问题的处理变得简单而自然,因而在做圆锥曲线题时注意多加训练与积累. 例 1,弧 ADB 为半圆，AB 为直径，O 为半圆的圆心，且OD 垂直于 AB，Q 为半径 OD 的中点，已知 AB 长为 4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且始终保持 /PA/+/PB/的值不变。过点 D 的直线与曲线 C 交于不同的两点 M、N，求三角形OMN 面积的最大值。 例 2：已知双曲线 x2-y2/2=1，过点 M(1,1)作直线 L，使L 与已知双曲线交于 、Q1 Q2 两点，且点M 是线段 Q1Q2 的中点，问：这样的直线是否存在？若存在， 、 求出 L 的方程；若不存在，说明理由。 解：假设存在满足题意的直线L，设 Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2) 1代人已知双曲线的方程，得 x 2- y 2/2=1 ① ， x 2-y 2/2=1 ② 1 1 2 2 ②-①，得(x -x )(x +x )-(y -y )(y +y )/2=0。 2 1 2 1 2 1 2 1 当 x1=x2 时，直线L 的方程为 x=1，此时 L 与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意； 当 x1≠x2 时，有(y -y )/(x -x )=2(x +x )/(y +y )=2. 2 1 2 1 2 1 2 1 故直线 L 的方程为 y-1=2(x-1) 检验：由 y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得 2x2-4x+3=0,其判别式 ⊿=-8 ﹤0，此时 L 与双曲线无交点。综上，不存在满足题意的直线 例 3,已知，椭圆 C 以过点 A（1， 3 ），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2 求椭圆 C 的方程； E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数， 证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 （Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为 x2 y2 ? 1。 因为 A 在椭圆上，所以 1? b2 4b2 1 9 3 ? ? 1，解得b2 ＝3， b2 ＝ ?  （舍去）。 所以椭圆方程为 1? b2 x2 ? y2 ? 1． 4b2 4 4 3 （Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得 y ? k (x ?1) ? 3 ，代入 x2 ? y2 ? 1得 2 4 3 3（3+4k 2）x2 +4k (3 ? 2k )x ? 4( ? k )2 ?12 ? 0 3 2 设Ｅ（ x E ， y ），Ｆ（ x E F 3 ， y ）．因为点Ａ（1， 3 ）在椭圆上， F 2 所以 x E 4( ? k)2 ?12 ???2 ， 3 ? 4k 2 y ? kx E 3 ? k 。 2 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以?k 代k ，可得 34( ? k)2 ?12 3 x ???2 ， F 3 ? 4k 2 y ? ?kx EF E 3 ? k 。2 EF  y ? y F F  ?k (x ? x ) ? 2k 1 FE F E 所以直线 的斜率k ? EF x ? x ? F E x ? x ? 2 。 F E 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 。 2 4,已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆C : x2 a2 y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和 上顶点 D，椭圆C 的右顶点为 B ，点 S 和椭圆C 上位于 x 轴上方的动点，直线， AS , BS 与直线l : x ? 10 3 分别交于M , N 两点 求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求线段 MN 的长度的最小值； 解 方 法 一 （ I ） 由已知得， 椭圆 C 的 左 顶 点 为 A(? 2 , 0 )上, 顶 点 为 D( 0 , 1?) ,a ? b2?, x2故椭圆C 的方程为 ? y2 ? x2 4 （Ⅱ）直线 AS 的斜率k 显然存在，且k ? 0 ，故可设直线 AS 的方程为 y ? k (x ? 2) ， (从而M 10 ( 3 , 16k ) 3 ? y ? k (x ? 2) 由? 由 ? x2 ?? 4 ? y2 ? 1  得(1? 4k 2 )x2 ?16k 2 x ?16k 2 ? 4 ? 0 设S (x , y ), 则(?2), x ? 16k 2 ? 4 得 x ? 2 ? 8k 2 ，从而 y ? 4k 1 1 1 1?