六年级奥数分数的速算与巧算.docxVIP

第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ? b ， a ? b 1那么有 ? 1 1 ( 1 ? 1) a ? b b ? a a b 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 1 n ? (n ? 1)? (n ? 2) ， n ? (n ? 1)? (n ? 2) ? (n ? 3) 形式的，我们有： 1 ? 1 [ 1 ? 1 ] n ? (n ? 1)? (n ? 2) 2 n ? (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 ? 1 [ 1 ? 1 ] n ? (n ? 1)? (n ? 2) ? (n ? 3) 3 n ? (n ? 1)? (n ? 2) (n ? 1)? (n ? 2) ? (n ? 3) 裂差型裂项的三大关键特征： 分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” 分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： a ? b ? a ? b ? 1 ? 1 a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? a ? b （1） a ? b a ? b a ? b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： （2） a ? b a ? b a ? b b a 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ... ? (n ? 1)? n ? 1 (n ?1)? n ? (n ? 1) 3 (2) 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3? 4 ? 3? 4 ? 5 ? ... ? (n ? 2) ? (n ?1)? n ? 1 (n ? 2)(n ?1)n(n ? 1) 4 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 纯循环小数混循环小数 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字 所组成的数的差 0.a· ? a ； 0.a· b· ? ab ； 0.0 a· b· ? ab ? 1 ab ? ； 0.ab· c· ? abc ? a ，…… 分母n 个 9，其中n 分母 n 个 9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 的左侧 2、单位分数的拆分： 990 ?1 1 1 1 ? 例： = = ? 1 = 1 ? 1 = 1 ? 1 = 1 ? 1 10 20 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母 N 的约数中任意找出两个m 和n,有： 1 ? 1(m ? n) ? m ? n = 1 ? 1 N N (m ? n) N (m ? n) N (m ? n) A B 本题 10 的约数有:1,10,2,5.。 例如：选 1 和 2，有： 1 ? 1(1? 2) ???1 ???2 ? 1 ? 1 10 10(1? 2) 10(1? 2) 10(1? 2) 30 15 本题具体的解有： 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 10 11 110 12 60 14 35 15 30 例题精讲 模块一、分数裂项 【例 1】 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ??1 1? 2 ? 3? 4 2 ? 3 ?