抛物线地性质归纳和证明.docxVIP

实用标准文案 精彩文档 精彩文档 抛物线的常见性质及证明 概念 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段； 焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦. 性质及证明 过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点 F 的弦两端点为 A(x , y 1 1 ) , B(x , y 2 2 ) ,倾斜角为? ,中点为 C(x ,y ), 分别过A、B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’. 0 0 求证：①焦半径| AF |? x p ? p ；②焦半径| BF |? x p ? p ; 1 2 1? cos? 2 2 1 ? cos? 1 1 2 ③ ＋ ＝ ； ④弦长 | AB | ＝x ＋x ＋p= 2 p  ；特别地，当 | AF | | BF | p 1 2 sin 2? x =x ( ? =90?)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 2p；⑤△AOB 的面积 S ＝ 1 2 △OAB p 2 2 sin ? . p p 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x ＋ ，| BF |＝| BC |＝x ＋ ， 1 2 2 2 | AB |＝| AF |＋| BF |＝x ＋x ＋p 1 2 yDA(x ，y )1 1B1RO?FA1x y D A(x ，y ) 1 1 B1 R O ? F A 1 x C B(x ，y ) 2 2 图 2 1 1 A 、B ，那么| RF |＝| AD |－| FA |＝| AF |－| AF 1 1 1 |cos?， 1－cos∴| AF |＝ 1－cos  | RF | p ?＝ ? ?＝ ?1＋cos1－cos同理，| BF |＝ | ?＝ ?1＋cos 1－cos 1＋cos p p ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝1－cos?＋1＋cos?＝ 2p sin2? . ＝ |S ＝S ＋S 1 OF || y | 1 OF || y | 1 p (| y ＝ | ＋ | ＝ · ·  |＋| y |) △OAB △OAF △OBF 2 1 2 1 2 2 1 1 ∵y y ＝－p2，则y 、y 异号，因此，| y |＋| y |＝| y －y | 1 2 1 2 1 1 1 2 实用标准文案 p4(y ＋y ) p 4 (y ＋y )2－4y y 1 2 1 2  p2 ∴S OA＝B | y －y |＝ ＝ 4m2p2＋4p2＝ 1＋m2＝ . △ 4 1 2 4 2 2sin? 212p2 1 1 2 2 1 2 1；| ||求证：① 1 ； | | | ? 4 ；② y y ??p2 ③ | AF ＋ BF ＝p. 当 AB⊥x 轴时，有 AF ? BF ? p，成立； 当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为： y ?  k ? x ? ?? ?  p ? 2? .代入抛物线方程： 2 ? ? p ?2 ? ? p2 ? ? k 2 ? x ? ? ? ? 2 px .化简得： k 2 x2 ? p 2? 2 k 2 ? 2 x ? k 2 ? 0 1 4 ∵方程（1）之二根为x ，x ，∴ x ? x ? k 2 . 1 2 1 2 4 1 1 1 1 1 1 x ? x ? p AFBFAA1BB1? ? ? ? ? ???1 2 AF BF AA 1 BB 1 x ? p x ? p x x ? p ?x ? x ?? p2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 4 x ? x ? p x ? x ? p 2 ? 1 2 ? 1 2 ? . y p2 ? p ?x ? x ?? p2 p ?x ? x p ? p A A 4 2 1 2 4 2 1 2  C C 求证： ?AC B ? ?A FB ? Rt∠. 先证明：∠AMB＝Rt∠ 【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 3， 则 △ADM≌△ECM， ∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | 精彩文档  E K O F x B B yDA y D A(x ，y ) 1 1 M N O R F x C B(x ， 2 y2 ) 实用标准文案 精彩文档 精彩文档 ＝| BF |＋| AF |＝| AB | ∴△ABE 为等腰三角形，又M 是 AE 的中点， ∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠ 【证法二】取AB 的中点N，连结MN，则 | MN 1 |＝ (|  AD |＋| BC 1 |)＝