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七年级数学竞赛辅导材料（下） 9、一元一次方程解的讨论 10、二元一次方程的整数解 11、二元一次方程组解的讨论 12、用交集解题 13、用枚举法解题 14、经验归纳法 15、乘法公式 16、整数的一种分类 初一（下）数学竞赛辅导(9) 一、内容提要： 一元一次方程解的讨论 1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如： 序 号 1 2 3 4 5 方 程 2x＋6＝0 x（x－1）=0 |x|=6 0x=0 0x=2 解（或根） x=－3 x=0 或x=1 x=±6 所有的数 无解 2、关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后，分情况讨论它的解，列表如下： 序号 a 的范围 解（或根） b 当 a≠0 时 有唯一的解 x= a 当a=0 且b≠0 时 无解 当a=0 且b＝0 时 有无数多解。3、求方程 ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解。当 a｜b 时，方程有整数解； 当 a｜b，且 a、b 同号时，方程有正整数解； 当 a、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax=b。二、例题： 例 1：a 取什么值时，方程 a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？③有无数多解？ ④是正数解？ 解：①当 a≠0 且 a≠2 时，方程有唯一的解，x= 4 ； a ②当 a=0 时，原方程就是 0x= －8，无解； ③当 a=2 时，原方程就是 0x=0 有无数多解； ④由①可知当 a≠0 且 a≠2 时，方程的解是x= 4 ，∴只要a 与 4 同号，即当a0 且 a≠2 a 时，方程的解是正数。 例 2：k 取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6 的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k＋2）x=4 当 k+2 能整除 4，即 k+2=±1，±2，±4 时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6 时方程的解是整数。 ②化为最简方程 kx=k－6， 当 k≠0 时 x= k 6 =1－ 6 ， k k 只要 k 能整除 6， 即 k=±1，±2，±3，±6 时，x 就是整数当 k=1，2，3 时，方程的解是负整数－5，－2，－1。 例 3：己知方程 a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问 a 和 b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b ∵方程无解，∴a－b=0 且 b≠0 ∴a 和 b 应满足的关系是 a=b≠0。 例 4 a、b 取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7 有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0 时，方程有无数多解，可知 ?3a ? 2b ? 8 ? 0 ?当 ?2a ? 3b ? 7 ? 0 时，原方程有无数多解。 ? ?a ? 2 ?解这个方程组得?b ? 1 ? 答当 a=2 且 b=1 时，原方程有无数多解。三、练习： 1、根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x+1)=0， ②x2=9， ③|x|=9， ④|x|=－3， ⑤3x+1=3x－1， ⑥x+2=2+x 2、关于 x 的方程 ax=x+2 无解，那么 a 。 3、在方程 a(a－3)x=a 中，当 a 取值为 时，有唯一的解；当 a 时无解；当 a 时，有无数多解；当 a 时，解是负数。 4、k 取什么整数值时，下列等式中的 x 是整数？ ① x= 4 ②x= 6 ③x= 2k ? 3 ④x= 3k ? 2 k k ? 1 k k ? 1 5、k 取什么值时，方程 x－k=6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6、m 取什么值时，方程 3（m+x）=2m－1 的解 ①是零？ ②是正数？ 7、己知方程 3x ? 6 ? 1 ? a ? 2 的根是正数，那么 a、b 应满足什么关系？ 4 2 x 8、m 取什么整数值时，方程(  ? 1)m ? 1 ? 2 m 的解是整数? 3 3 b 3 9、己知方程 (x ? 1) ? 1 ? ax 有无数多解，求 a、b 的值。 2 2 练习 9 序号 参考答案 序号 参考答案 1 1． ①－1 ②±3 ③±9 ④无解 ⑤无解 ⑥无数多个解 2 a=1 3 a≠3，a≠0；a=3；a=0； a3 且 a≠0 ① k=±1，±2，±4 ②2，0，3，－1，4，－2，7，－5 ③±1，±3 4 3k ? 2 ④4，－5，0－2（ ? 3 ? ? 5 ） 5 ①k0 ②k ≤0 7 2a+b0 k ? 1 k ? 1 6 8  ①m=－1 ②m＜－1 化为最简方程 mx=m+3， 当 m