第四章特殊变换及其矩阵.pptVIP

思考 对于一般的酉空间或欧氏空间 ，是否成立与定理3及定理4类似的结论？此时 及 的含义分别是什么？ 当前第63页\共有93页\编于星期六\9点 正规变换 投影变换 Hermite变换（对称变换） 酉变换 （正交变换） 正交投影变换 对合变换 当前第64页\共有93页\编于星期六\9点 §4、矩阵的奇异值分解 从Beltrami（1873）和Jordan（1874）提出奇异值分解（SVD）至今，SVD及其推广已经成为矩阵计算中最有用和最有效的工具之一，并在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等领域被广泛使用。 当前第65页\共有93页\编于星期六\9点 一、从几何观测说起 圆 经过变换 ，变成椭圆 。圆的正交方向 变成椭圆的长、短轴方向 当前第66页\共有93页\编于星期六\9点 当前第31页\共有93页\编于星期六\9点 二、 Hermite矩阵及对称矩阵的性质 定理8 正规矩阵 是 Hermite矩阵(反Hermite矩阵)的充要条件是 的特征值全是实数(纯虚数)，即 酉相似于实对角矩阵(对角元是纯虚数的对角矩阵)。 当前第32页\共有93页\编于星期六\9点 证明： 充分性。 因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 及对角阵 ，使得 由于 的特征值全是实数，所以 当前第33页\共有93页\编于星期六\9点 证明： 必要性。 因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵 及对角阵 ，得到特征值分解 因为 ，从而 因此 ，即 的对角元全是实数。 所以 的主对角元是 的特征值。 当前第34页\共有93页\编于星期六\9点 定理9 实对称矩阵 正交相似于实对角矩阵 ，即存在正交矩阵 ，使得 当前第35页\共有93页\编于星期六\9点 Hermite矩阵的谱分解 注意这里矩阵的特征值为实数 当前第36页\共有93页\编于星期六\9点 实对称矩阵的特征值分解 注意这里矩阵的特征对都是实的 当前第37页\共有93页\编于星期六\9点 三、 正定Hermite矩阵 实数域内经常处理的矩阵是正定对称矩阵，关于它有许多优美的结论。将数域推广到复数域，考察相应的结论，这就是下面的主题。 当前第38页\共有93页\编于星期六\9点 定义10 Hermite二次型或复二次型指的是复系数二次齐次复多项式 其对应的矩阵 显然是Hermite 矩阵。 当前第39页\共有93页\编于星期六\9点 定理11 对于Hermite二次型 存在酉变换 ，将二次型化为标准型 其中 是 的特征值。 当前第40页\共有93页\编于星期六\9点 定理12 （惯性定理）对于Hermite二次型 存在可逆的线性变换 ，将二次型化成规范型 其中 是 的秩。 当前第41页\共有93页\编于星期六\9点 定义13 Hermite二次型 称为正定的，如果对任意 ，恒有 ；当且仅当 时 。其对应的矩阵显然是正定Hermite 矩阵。 定义14 Hermite二次型 称为半正定的，如果对任意 ，恒有 。其对应的矩阵显然是半正定Hermite 矩阵。 当前第42页\共有93页\编于星期六\9点 定义1 5 设 是酉空间 上的Hermite 变换，如果对任意 ， 都有 则称 为 上的 正定变换（半正定变换），并称 在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为正定Hermite 矩阵(半正定Hermite 矩阵) 。 当前第43页\共有93页\编于星期六\9点 定义1 6 设