随机变量及其概率分布.pptVIP

2023/4/251 随机变量及其概率分布第一节 随机变量的基本概念第二节 离散型随机变量的分布第三节 连续型随机变量的分布第四节 随机变量的数字特征第五节 中心极限定理 2023/4/252第一节 随机变量的基本概念一.随机变量的概念随机变量是随机试验结果的数量化。特点: (1)取值随机会而定。由于随机变量取某个值对应于一个随机事件，因此随机变量取某个值有一定的概率。(2)随机变量有一定的取值范围，它对应于我们关心哪些随机事件随机变量按其可能取值全体的性质，区分为两大类：离散型随机变量和连续型随机变量。研究随机变量主要研究：随机变量可能取哪些值或取值范围以及取这些值的概率。 2023/4/253第一节 随机变量的基本概念二.分布函数设X为一随机变量，对任意实数x，事件“X≤x”的概率是x的函数，记为F（ x ）=P（ X≤x），这个函数称为X的累积概率分布函数，简称分布函数。 分布函数的基本性质：（1）0 ≤F（x）≤1（2）对任何a＜b，有P(a＜X≤b)=F(b)- F(a)（3）F（x）是非降函数（单调增函数）（4）F(-∞)=limF(x)=0；F(∞)=limF(x)=1（5）F(x)是右连续函数 2023/4/254第一节 随机变量的基本概念三.概率密度函数定义：设随机变量的分布函数为F(x) ，若f(x)是定义在整个实数轴上的非负可积函数（满足两个条件： f(x) ≥0 ，∞-∞f(x)dx=1，即f(x) 与横轴所夹面积为1）使得F(x) = x-∞f(t)dt,则称X为连续型随机变量，称f(x)为随机变量X的概率密度函数（或概率密度或密度函数）。 2023/4/255第一节 随机变量的基本概念概率密度函数的性质： (1) f(x) ≥0（-∞≤x≤∞) (2) = 1 (3) F’(x)= f(x) ,即概率密度函数是分布函数导数（4）对任意两个实数a与b，其中a≤b，有P(a≤X≤b)= P(a＜X＜b)= P(a＜X≤b)= P(a≤X＜b)=F(b)-F(a)= ∫ba f(x)dx 2023/4/256第二节 离散型随机变量的分布定义：设离散型随机变量X的所有可能取值是x1,x2, …,xn, …，且P(X=xi)=Pi,则这组概率｛Pi｝为该随机变量X的概率分布（或概率函数），其中Pi（i=1，2， …）满足：Pi≥0(i=1，2， …）且∑ Pi =1。 2023/4/257第二节 离散型随机变量的分布一.离散均匀分布P（X=xi）=1/n，(i=1,2, …，n）例2（P53）掷一个均匀骰子，以X= i表示骰子向上这一事件，则X为随机变量，且P（X=i）=1/6， (i=1,2, …，6）例3（P54）从10人中任取2人，以X=i表示第i种取法, P（X=i）=1/45,(i=1,2, …，45） 2023/4/258第二节 离散型随机变量的分布二.二项分布（Binomial Distribution)n重贝努里试验：一种常见的随机模型（1）贝努里试验：只有两个结果的试验（2）在一次贝努里试验中，设成功的概率为P，即P（A）=P，P（-A） =1-P（3） n重贝努里试验：由n个（次）相同的、独立的贝努里试验组成的随机试验。n重贝努里试验的特点：重复进行n次相互独立的试验；每次试验只可能有两个结果：成功与失败；每次出现成功的概率相同； 2023/4/259第二节 离散型随机变量的分布定义：如果随机变量X有概率函数：其中0p1，q=1-p。则称X服从参数为n,p的二项分布，记为 X ～ B（n,p) 。特别地，如果一个随机变量X只取0和1这两个值，即当n=1时，二项分布（1，P）化为 P（X=K）=pkq1-k(k=0,1)，则随机变量X服从0-1分布。 2023/4/2510第二节 离散型随机变量的分布例4（P54）产量质量控制中，我们关心抽取样本中的次品数X，如果次品率为10%，则抽出的10个样品中有2个次品的概率是多少？有至少2个次品的概率是多少？ 2023/4/2511第二节 离散型随机变量的分布三.泊松分布(Poisson Distribution)设离散型随机变量X的分布为：P（X=k)=e-λ λk/k!,(λ ＞0,k=0,1,2…),则称X服从参数为λ的泊松分布。它常常被用来描述稀有事件发生的概率。泊松逼近定理:在二项分布B(n,p)中，若n很大, np≤5，记 则有如下的近似公式： 2023/4/2512第二节 离散型随机变量的分布例6（P56）在第二次世界大战中，苏联因缺少高射炮而用步枪打飞机。现设有100人同时向一架飞机射击，设每人打中飞机的概率为0.02。问至少有两人打中飞机的概率。例 过去的记录表明