第11讲 点乘双根法（解析几何）（解析版）.docxVIP

第11讲 点乘双根法 知识与方法 在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 x1 1.方法介绍 所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 x1?x 2.理论基础 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 3.适用类型 x1x2 4.解题步骤 化双根式 → 赋值 → 整体代入. 典型例题 下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤. 【例1】 已知点 Mx0,y0 是拋物线 y2=2px( 【证明】设 Ax1,y 显然直线 AB 不与 x 轴平行，设其方程为 x= 步骤 1: 化双根式 联立 y2=2pxx=my+ 联立 y2=2pxx= 步骤 2: 赋值 在(1)中, 令 y=y0 在(2)中, 令 x=x0 步骤 3: 整体代入 即 t2 即 t? 所以 t=x0 情形一：当 t=x0?my0 情形二：当 t=2p+x0+m 综上所述：直线 AB 恒过定点 x0 通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多. 【例2】 设椭圆中心在原点 O, 长轴在 x 轴上，上顶点为 A, 左右顶点分别为 F1,F2,线段 OF (1) 求椭圆的方程; (2) 过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点, 使 P 【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为 x2a2 因为 △AB1B2 是直角三角形, 又 AB1 ?结合? 在 中, , 故 由题设条件 , 得 , 从而 . 因比, 所求椭圆的标准方程为 ; (2) 显然直线 不与 轴垂直，设 的方程为 , 因为 , 则 , 所以 联立 因为 是方程的两根, 所以 , 令 , 得 , 令 , 得 , 代入 (*), 得 , 化简可得: , 所以 , 故直线 方程为: . 【例3】 设 分别为椭圆 的左、右顶点, 过左焦点 且斜率为 的直线与椭圆交于 两点. 若 , 求 的值. 【答案】 . 【解析】设点 , 由 得直线 的方程为 , 由方程组 , 消去 , 整理得 . 由韦达定理可得 . 因为 , 所以 由 , 得 . 因为 是方程 的两根, 所以 令 , 则 , 所以 令 , 则 所以 因为 , 所以 , 解得 . 【例4】设 为曲线 上两点, 与 的横坐标之和为 4 . (1) 求直线 的斜率; (2) 设 为曲线 上一点, 在 处的切线与直线 平行, 且 , 求直线 的方程. 【答案】 (1) 1； (2) 【解析】(1) 设 , 则 于是直线 的斜率 . (2) 由 , 得 . 设 , 由題设知 , 解得 , 于是 因为 , 所以 , 即 . 设直线 的方程为 , 因为点 在直线 上, 所以 , 所以 . 由 得 . 由 , 得 . 在 式中, 令 , 得 在(1)式中, 令 , 得 ∴ , 解得 , 或 (舍）, 所以直线 的方程为 . 强化训练 1. 椭圆 , 若直线 与椭圆 交于 两点 不是左右顶点）, 且以直线 为直径的圆恒过椭圆 的右顶点. 求证：直线 恒过定点, 并求出该点的坐标. 【答案】 【解析】设椭圆的右顶点为 , 则 联立 , 整理得: , 因为 是方程 的两个根, 所以 取 , 得 , 所以 (2). 取 , 并两边同时乘以 , 可得 (3). 将（2和(3)整体代入 (*), 得 , 即 , 即 或 , 当 时, 直线 过点 , 不合题意; 当 时, 直线 , 显然 恒过定点 . 2. 已知椭圆 的右焦点为 , 过 且与 轴垂直的弦长为 3 . (1) 求椭圆标准方程; (2) 直线 过点 与满圆交于 两点, 问 轴上是否存在点 , 使 为定值?若存在, 求 出 的坐标; 若不存在, 说明理由. 【答案】 (1) ; (2) 见解析 【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 ; (2) 当直线 的斜率存在时, 设为 , 则直线 的方程为 , 设 , 则 (1). 在(1)中令 , 得 , (3) 在(1)中令 , 得 , (4) 把(3)4代入(2)并整理得 所以 , 得 , 此时 . 当直线 的斜率不存在时, , 仍有 . 综上所述, 的坐标为 . 3. 已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三 个顶点, 直线 与椭圆 有且只有一个公共点 . (1) 求椭圆 的方程及点 的坐标; (2) 设 是坐标原点, 直线 平行于 , 与椭圆 交于不同的两点 , 且与直线 交于点 . 证明: 存在常数 , 使得 , 并求 的值. 【答案】 (1) (2) , 【解析】 (1) , 点 坐标为 , 过程路. (2) 由已知可设直线