第04讲 面积问题（解析几何）（解析版）.docxVIP

第04讲 面积问题 知识与方法 面积计算思维强度大，对运算的要求较高, 往往需要结合图形设置好解题步骤及运算路径. 1. 面积问题的解决策略 (1) 面积公式的选择: 常用的面积公式是 S= (2) 面积的分割：一种常见的分割是 S 2. 相关公式 （1）弦长公式的两种形式 (1)若 A,B 是直线 y= px2+ (2)若 A,B 是直线 x= py2 （2）三角形面积的三种常用形式 (1) S (2) S= (3)设 Ax1, 证明: S = = （3）四边形面积公式 设四边形的两条对角线长度为 m,n, 夹角为 θ, 则四边形面积 互相垂直时, 有 S= 3. 面积的最值问题 通常利用公式将面积表示为某个变量的函数（如斜率、角度、坐标等），转化为求函数的最值. 求函 数值域（最值）的常用方法有：换元法、配方法, 判别式法，基本不等式, 利用导数单调性，三角函数的 有界性等. 典型例题 类型 1：三角形面积 【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 B 与点 A(?1,1) 关于原点 O 对称, P 是动点, 且直线 AP 与 BP 斜率之积等于 ?1 （1）求动点 P 的轨迹方程; (2) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N, 问：是否存在点 P 使得 △PAB 与 【答案】 (1) x2 【解析】（1）因点 B 与 A(?1,1) 关于原点对称, 得 B 点坐标为 (1,?1) 设 P 点坐标为 (x,y), 则 化简得: x2 即 P 点轨迹为: x2 (2) 因 ∠APB+∠MPN ∴ 设 P 点坐标为 x0,y 解得 x0=53, 又因 x02+3y02=4, 解得 y0=± 【例2】 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的一个顶点为 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 求实数 m 的取值范围; (3) 用 m 表示 △MAB 的面积 S, 并·判断 S 理由. 【答案】 (1)?x 【解析】 ?(1) 由已知得? (2) 解法 1: 韦达定理整体代入 设 Ax1,y1 Δ=(6km x 因为 A,B 关于过点 (0,?1) 的直线对称, 故 |MA 即 x2 可得: ?6km3k 故 Δ=12m 解法 2：利用弦中点 设 Ax1?y1,B 则 x12+3y1 则 y0 因使得点 A 与点 B 关于过点 M 的直线对称，则过点 M 的直线为: y=? 则点 C?3km 直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点 ? 中点 则有 3k2m （3）解法 1：面积转化为弦长 | A 所以 S2=343+ 所以 f(m) 在 1 解法 2：面积坐标公式 MA= S = S2=343+ 【例3】 如图, 已知拋物线 C:y2=2px(p0) 的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一 点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B (1) 求 C 的方程; (2) 若直线 l1//l, 且 l1 和 (1)证明直线 AE 过定点, 并求出定点坐标. (2) △ABE 【答案】（1） y2 【解析】（1） 如图所示, 由题意可得： xA=3 时， △ADF 是等边三角形, |AF|=3+p2, ∴3? (2) (1)证明：设 Ax ∵|FA 由直线 l1//l 可设直线 l 联立方程 y=?y02 由 l1 和 C 有且只有一个公共点得 Δ=64+32 这时方程（*）的解为 y=?4y 得 x=m2, 所以 Em2,2m. 点 A 即 y=2mm2 (2)由（1）知, 直线过焦点 F(1,0), 所以 设直线 AE 的方程为 x=my+1. 因为点 Ax 设 Bx1,y 因为 y0≠0, 所以 x 所以 y0+ 点 B 到直线 AE 的距离为 d 则 △ABE 的面积 S 当且仅当 1x0= 所以， △ABE 的面积的最小值为 类型 2：四边形面积 【例4.】 设椭圆中心在坐标原点, A(2,0),B(0,1) 是它的两个顶点, 直线 y=kx(k (1) 若 ED=6DF, 求 (2) 求四边形 AEBF 面积的最大值. 【答案】 (1) k=23 或 k 【解析】（1）依题设得 a=2, ∴ 直线 AB,EF 的方程分别为 如图, 设 Dx ?其中? ?故? ?由? 由 D 在 AB 上知 x0+2k ∴21+2k 解得 k=23 （2）解法 1: 根据点到直线的距离公式和(1)式知， 点 E,F 到 AB 的距离分别为 ? 又 |AB ∴ 四边形 AEBF 的面积为 S =2 当 2k=1, 即当 ∴S 的最大值为 2 解法 2:由题设, |BO 设 y1=k 故四边形 AEBF 的面积为 S = 当 x2 ∴S 的最大值为 2 【例5】