第10讲 点差法与定比点差法（解析几何）（原卷版）.docxVIP

第10讲 点差法与定比点差法 知识与方法 1、点差法的原理 (1)假设点在有心二次曲线上，且弦的中点为代入曲线,有,两式作差,得;左右两边同除以 ,得.变形得,其中为有心二次曲线的离心率(圆的离心率). （2）抛物线,任意弦的中点为代入曲线方程，有,两式作差,得,左右两边同除以,得. 2、有心二次曲线 实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线,所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线. 3、点差法基本题型 （1）求以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题 （3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 （4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等. 4、点差法在双曲线中的适用条件 已知双曲线,任意弦的中点, 若当中点满足,则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）; 若当中点满足或，则这样的双曲线的中点弦存在. 5、定比分点 若 AM=λMB, 则称点 M 为点 A 当 λ0 时, 点 M 在线段 AB 当 λ0(λ≠?1) 时, 点 M 定比分点坐标公式: 若点 Ax1,y1 6、定比点差法原理: 若 AM=λMB,AN=?λNB, 则称 定理: 设 A,B 为有心二次曲线 x2a2 则一定有 x 证明: (1) 设点 A 因为 AM= 则由定比分点坐标公式可得 Mx 将 A,B 代入曲线, 有 x (1) - (3) , 得 x1 这样就得到了 1a2? (2) 若点 MxM,yM 7、定比点差法基本题型 (1) 求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围; (2)简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题; 典型例题 点差法 关于点差法的研究, 在解析几何中有着广泛的应用, 主要有以下四种基本题型. 求以定点为中点的弦所在直线的方程 【例1】 已知双曲线 x2?y22=1, 过 B(1,1) 能否作直线 l, 使 l 求过定点的弦或平行弦的中点轨迹 【例2】 已知椭圆 x24+y23=1 的弦 AB 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 【例3】 已知中心在原点, 一焦点为 F(0,50) 的椭圆被直线 l 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 【例4】已知椭圆 x24+y2 【例5】已知椭圆 E:x2 (1) 求椭圆 E 的方程. (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B, 已知点 A(?a,0), 点 Q0,y 定比点差法 关于点差法的研究, 在解析几何中有着广泛的应用, 下面主要从三方面来研究. 求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围 ? 求?| 【例7】 已知椭圆 C:x2b2+y2a2=1(ab0) 的上下两焦点分别为 F1, (1) 求椭圆 C 的标准方程. (2) 已知 O 为坐标原点, 直线 L:y=kx+m 与 y 轴交于点 P, 与椭圆 C 交于 A, 简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题 【例8】 设椭圆 C:x2a2 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A,B 时，在线段 AB 上取点 Q, 满足| 【例9】 已知 F1(?c,0),F2(c,0) 为有心二次曲线 E:x2a2± 【例10】 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 当? (3) 设? 【例11】 已知椭圆 x24+y23=1, 点 P(4,0), 过点 P 作椭圆的割线 【例12】 设椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F, 过 F 的直线 l 与 (1) 当 l 与 x 轴垂直时, 求直线 AM 的方程. (2) 设 O 为坐标原点, 证明: ∠OMA 【例13】已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1(a (1) 求椭圆 M 的方程. (2) 若 k=1, 求 | (3) 设 P(?2,0), 直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C, 直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D, 若 C,D和点 【例14】已知点 P(0,1), 椭圆 C:x24+y2= 强化训练 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(ab 已知椭圆 x225+y2 (1) 求证: x (2) 若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T, 求直线 BT 的斜率 k. 若拋物线 C:y2=x 上存在不同的两点关于直线 l 设 F1,F2 分别为椭圆 x23+y2 双曲线 x2a2?y2b2=1(a0, A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 已知椭圆 x26+y ?7. 已知椭圆?C 上的点,??且? 8. 已知抛物线 C