第16讲 圆锥曲线等角定理（解析几何）（解析版）.docxVIP

第16讲 圆锥曲线等角定理 知识与方法 圆锥曲线等角定理及其证明 1.椭圆的等角定理: 过椭圆x2a2+y2b2=1(ab 【证明】只需证明kGA=?k 即证: 又因为: 故只需证明: 即证:2 联立x=my 由韦达定理,得:y 代入①式:等式左边=2 =2 故命题得证. 2.双曲线的等角定理: 过双曲线x2a2?y2b2=1(a0,b 该定理的证明方式和椭圆的类似,可以参照上面的解法进行证明. 3.拋物线的等角定理: 过抛物线y2=2px(p0) 【证明】只需证明kGA=?kGB,即 即证:yA 其中xG 设AB所在直线方程为:x=my+ myB+ 联立x=my+a 由韦达定理，得：yA+y 等式左边=2m 故命题得证. 典型例题 类型1:椭圆等角定理的应用 【例1】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与 (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明：∠OMA 【答案】(1)y=?22 【解析】（1）由已知得F(1,0),l的方程为 由已知可得,点A的坐标为1,22或 所以AM的方程为y=?22 (2)当l与x轴重合时,∠OMA 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y= 则x12,x 由y1= 将y=k(x?1) 所以x1 则2 从而kMA+kMB=0 综上,∠OMA 【例2】如图,两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆x24+y23=1 (1)若n=0,∠BAP=∠ (2)探究：是否存在常数m,当n变化时,恒有∠BAP 【答案】（1）m=±1 【解析】(1)依题意,当n=0时,由x24 因为∠BAP=∠BAQ 设A(m,y) 又由m24+y23=1 因为AB平分∠PAQ,所以m=±3 (2)设Px 由x24+ 其中Δ=124? 若存在常数m,当n变化时,恒有∠BAP 则由（1）可知只可能是m=±1 ①当m=1时,取A1,3 即2y 即4y1y 所以存在常数m=1,当n变化时,恒有∠ ②当m=?1时,取A 综上可得,存在常数m=±1,当n变化时,恒有∠ 【例3】已知点P(t,0)(t≠0),直线AB过点Ea2t,0且与椭圆x 【答案】见解析. 【解析】下面仅以椭圆x2 【证明】设点A和点B的坐标分别为x1,y ∵ 代入椭圆方程可得: ∴ ∴直线PA, ∴直线PA,PB与 类型2：拋物线等角定理的应用 【例4】已知倾斜角为45°的直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F A.2 B.2 C.22 D. 【答案】C 【解析】过A作AH⊥x轴,AA 设∠AMF 由于sin?θ 所以tan?α 同理tan?β 从而tan?∠AMB 所以tan?∠AMB 【例5】已知F是拋物线y2=4x的焦点,其准线与x轴交于P点,过点P的直线l与拋物线交于A,B两点,若线段AB上有一点M 【答案】x=1(?2y 【解析】 解法1: 设Ax1 由直线AB：x= y2?4 由(1)和(2)得4 代入直线AB:x 故M点的轨迹方程是x=1(?2y 解法2： 延长BF,与拋物线交于点C,设∠APx 点B在x轴上的射影为H,A, 则tan?α 同理tan?β=sin?θ,所以α=β 进而得△AFP?△∠CFP 由条件|AM|?|PB 又因为|PA||PB| 因为∠AFB+∠CFA 故∠AFM+∠AFP=90 于是M在直线x=1上（不在x 由y2=4xx=1?y 【例6】已知A,B是拋物线y2=4x上的两点,F是焦点,直线AF,BF 【答案】1. 【解析】设Ax1,y 即y1y 而kAB=y1? 即y=4y1+ 可得直线AB过定点K(?1,0),即准线x=?1与 设点A在准线上的投影为A1,在x轴上的投影为H 记∠AKx= 于是1k 【例7】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与 (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA 【答案】(1)y=?22 【解析】（1）由已知得F(1,0),l的方程为 由已知可得,点A的坐标为1,22或 所以AM的方程为y=?22 (2)解法1: 设直线l的方程为:my= A 联立方程组得:my 消元整理得：m2 因为点F为椭圆的右焦点,所以方程(1)有两个实数根分别为y1 由韦达定理可得:y 所以kAM 解法2:椭圆第二定义 过点A,B分别作椭圆右准线的垂线垂足分别为 由椭圆的第二定义可得：e= 所以有：AFBF=AA1B 所以AFBF 由①②得AA1BB1 所以△AA1 故∠OMA 【例8】在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线 (1)当k=0时，分别求C在点M和N (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM 【解析】（1）联立y