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非均匀有理B样条(NURBS)曲线 Non-Unique Ratioanal B-Spline 近年来．随着CAGD的发展，NURBS技术有了较快的发展和较广泛的应用，其主要原因在于: 1. 对标准的解析曲线(如圆锥曲线等)和自由曲线提供了统一的数学描述，便于工程数据库的管理相应用； 2. 保留了B样条曲线的节点插入、修改、分割以及修改控制点等强有力的技术，而且还具有修改权因子来方便地修改曲线形状的能力 3. 具有几何变换不变性 4.非有理B样条曲线、有理及非有理Bezier曲线等均为NURBS曲线的表示待例。因此NURBS曲线具有更强的表达功能 第六十二页，共一百零五页。 NURBS曲线方程 第六十三页，共一百零五页。 自由曲面的表示 要用数学式近似表达自由曲面，可以将自由曲线的表示方法向曲面推广。对给定的曲面进行细分，用比较简单的数学方程式来近似表示各分割曲面。此时的分割曲面的各个单元称为曲面元。 第六十四页，共一百零五页。 自由曲面的方程 第六十五页，共一百零五页。 仿照参数曲线的定义，参数曲面可看成是一条变曲线 按某参数v运动形成的轨迹，即参数曲面可表示为， 这里两个u、v是描述曲面的参数，故这种曲面叫双参数曲面，一般表示为； 第六十六页，共一百零五页。 Coons曲面 第六十七页，共一百零五页。 第六十八页，共一百零五页。 Bezier曲面 第六十九页，共一百零五页。 第七十页，共一百零五页。 特征造型和参数化造型技术 第七十一页，共一百零五页。 CAD技术发展 第一场CAD技术革命—曲面造型技术（70年代初） 达索飞机制造公司 贝塞尔曲面 CATIA 价格昂贵，租用一套CATIA的年租金需15～20万美元 软件商品化程度低，开发者本身就是CAD大用户，彼此之间技术必威体育官网网址 CV 由美国波音(Boeing)公司支持??I-DEAS 由美国国家航空及宇航局(NASA)支持??UG 由美国麦道(MD)公司开发??CATIA 由法国达索(Dassault)公司开发?? 效益显著，许多车型的开发周期由原来的6年缩短到只需约3年。 第七十二页，共一百零五页。 第二场CAD技术革命—实体造型技术 起因：有了表面模型，CAM的问题可以基本解决。但由于表面模型技术只能表达形体的表面信息，难以准确表达零件的其它特性，如质量、重心、惯性矩等，对CAE十分不利，最大的问题在于分析的前处理特别困难。 障碍：但是由于计算量大，很多公司并没有真正投入。而着重于表面模型的研发。 结果：CV最先在曲面算法上取得突破，取得了市场领导者的地位。 第七十三页，共一百零五页。 第三场CAD技术革命—参数化技术 起因：80年代末 硬件成本 20+万美金--〉几万美金 一些中小企业对CAD软件有需求。 参数化技术特点：基于特征、全尺寸约束、全数据相关、 尺寸驱动设计修改。 障碍：主要市场是飞机和汽车用户，注重自由曲面功能。而参数化技术不能提供很好的工具。 结果：Pro/E进入了市场，参数化技术普及 第七十四页，共一百零五页。 3. 参数表示 在平面曲线的参数表示中，曲线上的每一点的坐标均要表示成一个参数化，例如用参数t表示，则曲线上每一点迪卡尔坐标的表达式: x=x(t) y=y(t) 曲线上一点坐标的矢量表示是: P(t)=[ x(t) y(t) ] 第三十页，共一百零五页。 参数表示的优越性 具有几何不变性，与坐标系的选取无关 曲线的控制变量增加，有更大的自由度 可以处理斜率无穷大的情形 规格化的参数变量，自然具有边界 便于将低维的曲线推广到高维 第三十一页，共一百零五页。 自由曲线的表示 在CAD／CAM／CAE系统中，要表达设计者在大脑中描绘出的三维空间自由曲线，常采取将给定的曲线分成若干段，用比较简单的数学式子来表达各段曲线的方法。为此，先在计算机内设定x,y,z轴，用参数方程的形式来表示分段曲线。 第三十二页，共一百零五页。 next course 若改变式中的t值，则点P（x，y，z）就会在空间移动，因而很清楚，上式表示的是空间曲线。 曲线分段表达 第三十三页，共一百零五页。 第三十四页，共一百零五页。 主要的曲线表达方法 内插法就是将函数P(t)以简单多项式 的形式给出，多项式的系数由分段节点上的连续条件来确定。 近似法是在分段节点之外再指定若干个控制点，使函数P(t)不一定通过控制点，但要接近控制点，由此来确定函数P(t) 。 第三十五页，共一百零五页。 Fergus