(93)--高等数学C第六章第三节.pdfVIP

第三节 微积分学基本定 理 一、变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数与原函数 存在定理 三、牛顿 - 莱布尼茨公式 四、小结 思考题 一、 变速直线运动中位置函 数 与速度函数之间的联 设某物体作直线运动，已知速度v  v(t )是时 间间隔[T , T ]上 t 的一个连续函数， 系 1 2 v(t )  0 ，求物体在这段时间内所经过的路程. T 2 变速直线运动中路程为 v(t )dt ￲ T 1 s(T )  s(T ) 另一方面这段路程可表示为 2 1 T 2  \ v(t )dt  s(T )  s(T ). 其中 s (t )  v(t ). ￲ 2 1 T 1 上述结论在一定条件下具有普遍性 , 即如果 函数 f (x )在 区间[a上,b连] 续则在, 区f 间(x )上 的定 [a ,b ] 积 分就 等 于f 的(x 原) 函数在F区(x间)上 的增[a ,b ] 量F即(b)  F (a ), b ￲f (x )dx  F (b ) F (a ). a 二、积分上限的函数与原函 数 设函数f (x )在区间[a,b]上连续，并且设 存在定理 考察定积分 x 为[a,b]上的一点， x x ￲ f (x )dx  ￲ f (t )dt a a 如果上限x 在区间 [a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它 在[a,b]上定义了一个函数，记为 x F(x )  ￲ f (t )dt , 称为积分上限函数 a 。 也称为变上限定积分。 积分上限函数的性质 定理１ 如果f (x )在[a,b]上连续，则积分上限的函 x 数F(x )  a f (t )dt 在[a,b]上具有导数，且它的导数 d x  是F (x )  dx a f (t )dt  f (x ) (a  x  b) y x x 证 F(x  x )  ￲ f (t )dt a F  F(x  x )  F(x ) F(x ) x x