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会计学1高数同济幂级数 一、 函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数 .对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 .第1页/共26页 为级数的和函数 , 并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它第2页/共26页 例如, 等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数 第3页/共26页 二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数, 其中数列下面着重讨论例如, 幂级数为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即称 (1)因为只要令则(1)成为收敛域第4页/共26页 发 散发 散收 敛收敛发散定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式证:收敛,则必有于是存在常数 M 0, 使第5页/共26页 当 时, 收敛,故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,证毕第6页/共26页 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = ? 时,幂级数在 (－R , R ) 收敛 ;(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ]可能收敛也可能发散 .外发散;在(－R , R ) 称为收敛区间.发 散发 散收 敛收敛发散第7页/共26页 定理2. 若的系数满足证:1) 若? ≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1) 当? ≠0 时,2) 当? ＝0 时,3) 当? ＝∞时,即时,则 第8页/共26页 2) 若则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为说明:据此定理因此级数的收敛半径记下来!!!比值判别法成立根值判别法成立第9页/共26页 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域.解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例1.求幂级数 第10页/共26页 例2. 求下列幂级数的收敛域 :解: (1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x = 0 处收敛 .第11页/共26页 例3.的收敛半径 .解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由第12页/共26页 例4.的收敛域.解: 令 级数变为当 t = 2 时, 级数为此级数发散;当 t = – 2 时, 级数为此级数条件收敛;因此级数(2)的收敛域为故原级数的收敛域为即(2)第13页/共26页 三、幂级数的运算定理3. 设幂级数及的收敛半径分别为令则有 :其中以上结论可用部分和的极限证明 .第14页/共26页 *说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如, 设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 第15页/共26页 定理4 若幂级数的收敛半径(证明略 )则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.通过逐项求导和逐项积分目的是转化幂级数为等比级数这样可方便求和.第16页/共26页 例5. 求级数的和函数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 收敛 , x=1时级数发散．第17页/共26页 因此由和函数的连续性得:而[第18页/共26页 解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞.例6.则故得的和函数 .因此得设第19页/共26页 例7.解: 构造幂级数显然收敛域为[-1,1)求的和.设和函数为第20页/共26页 内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算. 第21页/共26页 2) 在收敛区间内幂级数的和函