高数同济连续函数的运算与初等函数的连续性.pptxVIP

高数同济连续函数的运算与初等函数的连续性会计学 设函数f(x)和g(x)在点x0连续? 则函数 在点x0也连续?一、连续函数的和、积及商的连续性第1页/共20页定理1 例1 因为sin x和cos x都在区间(-?? +?)内连续? 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的? 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的? 首页Company Logo 例2 二、反函数与复合函数的连续性第2页/共20页定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)在区间Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的?所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1? 1]上也是连续的? 同样? y=arccos x 在区间[-1? 1]上是连续的? y=arctan x 在区间(-?? +?)内是连续的? y=arccot x 在区间(-?? +?)内是连续的?下页Company Logo 例2 第3页/共20页二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)在区间Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的?即： 单调连续的函数有单调连续的反函数.所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1? 1]上也是连续的? 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的?下页Company Logo第4页/共20页定理3 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? 意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如,下页Company Logo第5页/共20页定理3 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? 例3 解 提示:注: (1)把定理中的x?x0换成x??? 可得类似的定理?下页Company Logo第6页/共20页定理3 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? 定理4 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点u0?g(x0)连续? 则复合函数y?f[g(x)]在点x0也连续?注意　定理4是定理3的特殊情况.下页Company Logo第7页/共20页定理4 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点u0?g(x0)连续? 则复合函数y?f[g(x)]在点x0也连续?例如,下页Company Logo 例4 内是连续的? 第8页/共20页 解 sin u 当-?u+?时是连续的? Company Logo三、初等函数的连续性第9页/共20页定义区间是指包含在定义域内的区间.结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的? 一切初等函数在其定义区间内都是连续的?1. 三角函数 2. 反三角函数 在其定义域内是连续的.(均在其定义域内连续 )下页Company Logo 例6 例5 第10页/共20页利用连续性求极限举例 解 解 特别地下页Company Logo第11页/共20页?例 证明证特别地Company Logo=ln a第12页/共20页利用连续性求极限举例 例7 求令a x-1=t?则x=log a(1+t)? x?0时t?0? 于是 解 另解:特别地Company Logo第13页/共20页思考: 求解:原式说明: 若则有Company Logo第14页/共20页?练习Company Logo第15页/共20页?练习Company Logo第16页/共20页小结连续函数的和差积商的连续性.反函数的连续性.复合函数的连续性.两个定理;两点意义.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.Company Logo x 为有理数 x 为无理数第17页/共20页思考题续? 反之是否成立?反例“反之” 不成立 .提示:处处间断,处处连续 . 作业P68 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5Company Logo第18页/共20页思考题1Company Logo是它的可去间断点第19页/共20页思考题1解答Company Logo