高阶导数与隐函数求导参数方程求导.pptxVIP

会计学1高阶导数与隐函数求导参数方程求导 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军2第三节 高阶导数1.如果 的导数存在，称为 的二阶导数 记作： ， 或 2. 仍是x的函数，还可以进一步考虑 有三阶导数 或 ， 四阶导数 或 ， …… n阶导数 或 .一、基本概念第1页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军33.f(x)在x处有n阶导数，那么 在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称高阶导数4.问题：如何求函数的高阶导数？一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则高阶导数应用举例解 例1 y=ax+b, 求 例2 求 解 第2页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军4 例3 证明:函数 满足关系式证 将 求导,得2、应用第3页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军5于是下面介绍几个初等函数的n阶导数例4 求指数函数 的n阶导数解一般地,可得即例5 求正弦与余弦函数的n阶导数第4页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军6解一般地,可得即第5页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军7用类似方法,可得例6 求对数函数ln(1+x)的n阶导数解一般地,可得即通常规定0!=1,所以这个公式当n=1时也成立.第6页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军8例7 求幂级数的n阶导数公式解那么一般地,可得即第7页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军9高阶导数运算法则(3)称为莱布尼兹公式第8页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军10例8 解代入莱布尼茨公式,得第9页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军11第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率重点：隐含数、参数方程求导方法难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的求法。第10页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军12第四节 隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率的函数的导数 相关变化率四、小节五、作业第11页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军13一、隐函数的导数1 复习:函数的表示法 1.直接表示: 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数2 间接表示 (1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数 例 可确定函数 , (2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程: t是参数 方法(1)表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.第12页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军142 隐函数的定义一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数例1 求由方程 所确定的隐函数的导数解 我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得方程右边对x求导得所以第13页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军15从而注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程 所确定的隐函数例2 求由方程 所确定的隐函数x=0处的 导数因为当x=0时,从原方程得y=0,所以解 把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等,由此得所以 第14页/共35页 2023/1/7泰山医学院信息工程学院 刘照军16例3 求椭圆 在点 处的切线方程(图2-6)解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为椭圆方程的两边分别对x求导,有从而当x=2时, 代入上式得于是所求的切线方程为即第15页/共35页 2023/1/