高阶导数与隐函数.pptxVIP

高阶导数与隐函数会计学第1页/共28页一、高阶导数的定义瞬时速度为路程对时间的变化率问题:变速直线运动的加速度.定义第2页/共28页记作二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.第3页/共28页二、 高阶导数求导法则直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例解第4页/共28页求设例例求设例设求第5页/共28页三、几个初等函数的n阶导数公式例解 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法)注意:第6页/共28页例解同理可得第7页/共28页例解第8页/共28页二、高阶偏导数的概念与计算设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:第9页/共28页类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为定理.则(证明略) 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有例. 求函数第10页/共28页的二阶偏导数及 解 :因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等说明:函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.注意:但这一情形并不总成立.第11页/共28页满足拉普拉斯例. 证明函数方程证：利用对称性 , 有第12页/共28页二阶偏导数连续,思考: 设证明下列表达式在极坐标系下的形式:第13页/共28页§ 3.4 参数方程与隐函数方程微分法一、参数方程确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导第14页/共28页一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数则关系,可导, 且时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )第15页/共28页若上述参数方程中且二阶可导,则由它确定的函数可求二阶导数 .,可得利用新的参数方程例1 :求解:第16页/共28页例. 设求, 且解:为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率(含导数 的方程)第17页/共28页二、隐函数方程确定的函数求导若由方程则称此可确定 y 是 x 的函数 ,函数为隐函数 .由表示的函数 , 称为显函数 .可确定显函数例如,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .隐函数求导方法: 两边对 x 求导第18页/共28页例. 求由方程确定的隐函数在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故第19页/共28页例. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即第20页/共28页例,求导函数?解:两边取对数对 x 求导第21页/共28页 下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.定理1. 设函数在点的某一邻域内满足① 具有连续的偏导数;②③则方程的某邻域内可唯一确定一个并有连续单值连续函数 y = f (x) ,满足条件导数(隐函数求导公式)定理证明从略.第22页/共28页例. 验证方程在点(0,0)某邻域求可确定一个单值可导隐函数解: 令则②①连续 ,③由 定理1 可知,在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 且第23页/共28页导数的另一求法— 利用隐函数求导两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时第24页/共28页定理2 .若函数 满足:① 在点的某邻域内具有连续偏导数 ,②③在点则方程某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足并有连续偏导数定理证明从略.第25页/共28页例. 设解法1利用隐函数求导再对 x 求导第26页/共28页解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导第27页/共28页作业P95-96 18(2)(4),19(1),20, 21(2) ,22; 23(1)(2),24(2)(4)(5),25,27;