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2. y0在1-?置信水平下的预测区间为 利用回归方程进行估计和预测（置预测区间估计:算例） 【例】根据前例，求出某样本元素A为1250.7时，元素B的95%的预测区间 解：根据前面的计算结果有 ＝712.57，Sy=14.95，t???(13-2)＝2.201，n=13 置信区间为 712.57?34.469 元素B的95%的预测区间为678.101~747.039之间 0 ? y 影响区间宽度的因素 1. 置信水平 (1 - ?) 区间宽度随置信水平的增大而增大 2. 数据的离散程度 (s) 区间宽度随离散程度的增大而增大 3. 样本容量 区间宽度随样本容量的增大而减小 4. 用于预测的 xp与?x的差异程度 区间宽度随 xp与?x 的差异程度的增大而增大 置信区间、预测区间、回归方程 xp y x ?x 预测上限 置信上限 预测下限 置信下限 第三节 多元线性回归 一. 多元线性回归模型 回归参数的估计 回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验 多元线性回归的预测 多元线性回归模型 多元线性回归模型 （概念要点） 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xp 和误差项 ? 的方程称为多元线性回归模型 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为 b0 ，b1，b2 ，?，bp是参数 ? 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ，? ，xp 的线性函数加上误差项? ? 说明了包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性 多元线性回归模型 （概念要点） 对于 n 组实际观察数据(yi ; xi1,，xi2 ， ? ，xip )，(i=1,2,…,n)，多元线性回归模型可表示为： y1 = b0 + b1 x11+ b2 x12 +?+ bpx1p + e1 y2= b0 + b1 x21 + b2 x22 +?+ bpx2p + e2 yn= b0 + b1 xn1 + b2 xn2 +?+ bpxnp + en { …… 最小二乘法（图示） x y (xn , yn) (x1 , y1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (x2 , y2) (xi , yi) ｝ ei = yi-yi ＾ 用最小二乘法建立回归方程 令 和 的计算公式 根据上述求解，可得 和 的估计值为： 1 ? b 0 ? b 估计方程的求法（实例） 根据前述例中的数据，元素A对元素B的回归方程。 根据 和 的求解公式得： 0 ? b 1 ? b 估计(经验)方程 元素B对元素A的回归方程为： y = 54.22286 + 0.52638 x ^ 估计方程的求法（输出结果） 回归方程的显著性检验 离差平方和的分解 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示 y y - 离差平方和的分解（图示） x y y { } } ? 离差分解图 离差平方和的分解 （三个平方和的关系） 2. 可以证明，两端平方后求和有: 从图上看有 SST = SSR + SSE 总变差平方和 （SST） { 回归平方和 （SSR） { 残差平方和 （SSE） { 离差平方和的分解 （三个平方和的意义） 总平方和(SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差 回归平方和(SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和 样本决定系数 （判定系数 R2 ） 回归平方和占总离差平方和的比例 反映回归直线的拟合程度 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 R2 ?1，说明回归方程拟合的越好；R2?0，说明回归方程拟合的越差 判定系数等于相关系数的平方，即R2＝(r)2 回归方程的显著性检验 （线性关系的检验 ） 检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著 具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著 如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系 回归方程的显著性检验 （检验的步骤） 提出假