第9讲 三角函数填空压轴题（解析版）.docxVIP

专题3 三角函数 1．（江苏三校联考）已知，，其中，则____________． 【答案】 【分析】构造，判断的奇偶性与单调性，把化为，化为，利用的奇偶性与单调性求出的值，再计算的值． 【解析】设，则，易知是偶函数． 当时，，，∴； 当时，，，． ∴恒成立，即在定义域内单调递增． ∵，∴为奇函数，∴的图象关于点对称， ∵， ∴， 同理可得． 则，∴，即，故． 2．（湖南长沙市·长郡中学高三月考）已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为M，则M的最小值为________． 【答案】 【分析】求出的值，取，然后对函数在区间上是否单调进行分类讨论，利用绝对值三角不等式结合辅助角公式可求得的最小值． 【解析】由于函数的最小正周期为，则，． 不妨取，则． 若函数在区间上单调，则， 若函数在区间上先增后减， 则； 若函数在区间上先减后增，同理可知的最小值为． ，综上可知，的最小值为． 【名师点睛】本题考查正弦型函数在区间上最值的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题． 3．（全国超级全能生联考）已知是定义在上的偶函数，当时，，设，若函数，则在区间上的零点个数为___________． 【答案】 【分析】求出函数的最小正周期，作出函数与的图象，分析两个函数在和上的图象的交点个数，由此可得出结论． 【解析】函数的最小正周期为． 当时，；当时，． 要求函数的零点个数，即求函数与的图象的交点个数， ，∴函数与在上的图象无交点． 作出函数与的图象如下图所示： 当时，由图象可知，对任意的且，函数与在上的图象有两个交点，∴函数与在上的图象有个交点； 当时，由图象可知，函数与在上的图象无交点， 对任意的且，函数与在上有且只有两个交点， ∴函数与在上共有个交点． 综上所述，在区间上的零点个数为． 【名师点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果． 4．（宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知在锐角三角形ABC中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为_________ 【答案】 【分析】由已知结合正弦定理可得，然后结合余弦定理， ，令，代换后结合余弦的性质即可求解． 【解析】∵，∴， 由余弦定理可得：， 令，则，因此，∴， ∵为锐角，，∴，∴，故答案为：． 【名师点睛】关键点点睛：首先利用正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理并配方可得 关键是令，，将、代换掉，结合余弦的性质即可求得范围． 5．（河南信阳期末（理））在中，，则面积的最大值是____________ 【答案】 【分析】计算，得到答案． 【解析】 ， 当时等号成立．此时，即时，满足题意． 故答案为：． 【名师点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力． 6．（浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知的三个角所对的边为．若，为边上一点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】设，则，则由可以推得， 再利用面积公式可以解出，从而根据，可以推出，最后利用基本不等式即可得出结论． 【解析】设，()则， ，，即， 化简得，即，故，， 又，∴，即，即， ，(当且仅当时取等号)，故答案为：． 7．（河南三门峡期末（理））已知函数，有以下结论： ①的图象关于直线轴对称②在区间上单调递减 ③的一个对称中心是④的最大值为 则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）． 【答案】②④ 【解析】， 根据图像知：①的图象关于直线轴对称，错误；②在区间上单调递减，正确； ③的一个对称中心是 ，错误；④的最大值为，正确；故答案为②④． 【名师点睛】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图像，三角函数性质，意在考查学生对于三角函数的综合理解和应用． 8．（广东深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知内接于单位圆，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则的面积最大值为_______． 【答案】 【分析】设，求出，从而可得，在中，设，由正弦定理用表示出，这样就表示为的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值． 【解析】设，由题意以边向外作等边三角形，其外接圆圆心分别为， 连接并延长分别交于， 则，同理， 都是等边三角形，则，又，则，∴， 是正三角形