第3讲 三角函数选择压轴题（解析版）.docx

第3讲 三角函数选择压轴题 一、单选题 1．（湖北武汉市·高三月考）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围． 【解析】令，则，令，则，则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围． 作出和的图像，观察交点个数， 可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，由题意列不等式的： ，解得：．故选B． 【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便． 2．（安徽淮北市·高三一模（理））函数的最大值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用诱导公式及二倍角公式可得，令，将函数转化为，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解； 【解析】∵， ∴，令， 则， 则， 令，得或， 当时，；时， ∴当时，取得最大值，此时，∴，故选B． 【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值． 3．（天津滨海新区·高三月考）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果． 【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期， ∵函数在上没有零点，∴，得，得，得， 假设函数在上有零点， 令，得，，得，， 则，得，， 又，∴或， 又函数在上有零点，且， ∴或，故选A． 【点睛】关键点点睛：求出函数的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键． 4．（中学生标准学术能力3月测试）已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于关于原点对称得函数为，由题意可得，与的图像在的交点至少有3对，结合函数图象，列出满足要求的不等式，即可得出结果． 【解析】关于原点对称得函数为． ∴与的图像在的交点至少有3对，可知，如图所示， 当时，，则，故实数a的取值范围为，故选A． 【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为与的图像在的交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题． 5．（江苏徐州市·徐州一中高三期末）已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形两个内角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导可知函数在 上为增函数，由已知条件可知，即，再根据函数在上的单调性即可得解． 【解析】设，则 ∴函数在上单调递增． ， 为锐角三角形两个内角，则 ∴，由正弦函数在上单调递增． 则 ∴，即 ∴，故选B． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也涉及了三角函数的变换及其性质，考查构造思想及转化思想，考查化简变形能力及逻辑推理能力，属于中档题． 6．（和平区·天津一中高三月考）已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（ ） ①函数是奇函数 ②的图象关于直线对称 ③在上是增函数 ④当时，函数的值域是 A．①③ B．③④ C．② D．②③④ 【答案】C 【分析】先根据辅助角公式化简，然后利用已知条件求解出的值，再根据图象的变换求解出的解析式；①根据解析式判断奇偶性；②根据的值判断对称性；③采用整体替换的方法判断单调性；④利用换元法的思想求解出值域． 【解析】∵，又的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴，∴，∴， ∴向左平移个单位得到， 横坐标伸长到原来倍得到， ①为非奇非偶函数，故错误； ②，∴是的一条对称轴，故正确； ③∵，∴， 又∵在上先增后减，∴在上不是增函数，故错误； ④当时，， ∴，此时；，此时， ∴的值域为，故错误；故选C． 【点睛】思路点睛：求解形如的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下： （1）先确定这个整体的范围； （2）分析在（1）中范围下的取值情况； （3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的的取值． 7．（辽宁高三二模）若，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先根据诱导公式化简得，再结合半角公式整理得． 【解析】由诱导公式化简整理得：， 由于， ∴，故选A． 【点睛】题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关