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作者：张力 1999.12.5 类比思想在解题中的应用 第 1 页 共 13页 类比思想在解题中的应用 【关键字】 思想；类比；相似性；对应。 【摘要】： 类比，是一种试图建立未知的问题与已知的问题之 间的联系，从而利用已知的解题方法去解决新的问题的 思路。本文首先通过分析具体的例子，指出类比解题不 仅仅是注意到了表面上的相似性，更是建立了已知问题 和未知问题之间的对应关系。然 ，本文将通过另一个 例子，论述表面相似性与内在的对应之间的关系，并且 指出利用类比解题的过程是从表面相似性上升到一一对 应的过程。 引：解题，从熟悉的地方开始 面对一个新的问题应该如何着手去分析解决呢？ 从熟悉的地方开始着手。这是生活中人们常常采用的方法：希望 面对的难题与以前解决过的某个问题是相同的，或者至少类似的；由 此就可以获得值得借鉴的经验。面对一个陌生的问题，试图把它和某 个熟悉的问题联系起来，借助熟悉的知识和熟悉的方法来解决新问 题，是自然的想法。 这种寻找未知问题和已知问题之间联系的思想，可以称为类比。 更确切的说，“如果两个系统的各自的各部分之间，存在某种一致的 关系的话，则称两个系统是可以类比的。”① 如何理解定义中所说的 “一致的关系”呢？ 如果只简单的把“存在某种一致的关系”理解成一种含糊的相似 性。那么类比就完全归结为人的主观的感觉，这种主观上的“似曾相 识”是不能够 为分析问题、解决问题的依据的。然而类比的思想的 确被广泛的应用于解决各种问题，说明类比的本质是另一种比表面上 的相似性更可靠和更有说服力的“一致关系”。事实上，类比是建立 在两个问题之间的一种一一对应的映射关系。本文的第一部分，正是 试图阐述这一本质上的 “一致关系”。 然而两个问题之间的本质联系并不是那么容易得到的。人们在对 ①引自参考书目i （《数学与猜想》）第二章。 作者：张力 1999.12.5 类比思想在解题中的应用 第 2 页 共 13页 问题的最初的分析中，注意到的往往还是表面上 （甚至只是文字上） 的相似性。希望直接得到两个问题之间相互对应和相互转化的关系是 不现实的。因此，最初观察到的表面上的相似性虽然有些不可靠，但 是至少它能够为分析问题指出方向，由此尝试着建立问题之间的对应 关系。正如本文第二部分将要阐述的，利用类比解题的过程是从模糊 到清晰，从表面到本质的分析过程。 接下来的两个部分，就将探讨类比过程中，表面的相似和本质的 对应之间的关系。 类比的本质，一一对应的关系 类比作为一种分析问题的思想方法，目的是希望将不熟悉的知识 转化为熟悉的知识，将未知的问题转化为已知的问题。 如何实现这一转化，取决于如何对两个问题进行类比。如果 考 虑到两个问题表面上的相似性，那么很可能会机械的模仿已知问题的 解决方法，来解决新问题。这种想法缺乏严谨可靠的支持，难以保证 在实际解题中能够成功。即使成功了，也是知其然而不知其所以然， 没有发现问题之间本质的联系，往往得不到最好的解决方法。而当类 比过程中两个问题之间存在一种对应关系，未知问题中的所有描述对 象和操作，在已知问题中都有与之一一对应的内容，那么整个未知的 问题就可以通过这种一一对应的映射关系，转化为已知的问题，也就 可以应用已知问题的解决方法来解决它。 下面的例子就是如此。 【“整数拆分”与 “因数分解”】 整数拆分：将一个正整数 n，拆分为一组小于 n 的正整数的和（不 考虑这组正整数排列的先后次序）。求总共有多少组可能的拆分。① 这是一道众所周知的组合计数问题。解决的方法有两种： ① 利用递归的枚举解题模型。(对应程序名 DIVIDE1.PAS) 将问题描述为：求满足等式 na a a a (1a a a n) 1 2 3 m 1 2 m 的所有正整数组（a ，a ，a ，a ……，a ）的总数。为此，可以采用 1 2 3 4 m 递归枚举的方法逐个确定每一个 a 从而求出所有的解，并统计总数。