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导数及其应用 (四川 )已知 a 为函数 f(x) ＝x3 －12x 的极小值点，则 a 等于 ( ) A ．－ 4 B ．－ 2 C． 4 D． 2 答案 D 解析 ∵ f(x)＝ x3－ 12x， ∴ f′ (x)＝ 3x2－ 12， 令 f′( x)＝ 0，则 x1＝－ 2，x2 ＝2. 当 x∈ (－ ∞ ，－ 2)， (2，＋ ∞ )时， f′(x)0 ，则 f(x)单调递增； 当 x∈ (－ 2,2)时， f′ (x)0 ，则 f(x)单调递减， ∴f(x)的极小值点为 a＝2. 1 (课标全国乙 ) 若函数 f(x) ＝x－ 3sin 2x＋ asin x 在(－∞，＋∞ )上单调递增，则 a 的取值范 围是 ( ) 3A ． [－1,1] B. －1， 1 3 C. － 1 1 3，3 D. －1，－ 1 3答案 C 3 3解析 方法一 (特殊值法 )：不妨取 a＝－ 1， 则 f(x)＝ x－ 1sin 2x－ sin x， 3 02 2 2 0 f′ (x)＝ 1－ cos 2 x－ cos x，但 f′ (0)＝ 1－ － 1＝－  ，不具备在 (－ ∞ ，＋ ∞ )单调递增， 3 3 3 排除 A ，B ，D. 故选 C. 3方法二 (综合法 )： ∵ 函数 f(x)＝ x－ 1sin 2x＋ asin x 在(－∞ ，＋ ∞)单调递增， 3 3∴f′ (x)＝ 1－2cos 2x＋ acos x 3 3＝1－ 2(2cos2x－ 1)＋ acos x 3 ＝－ 4 2 5 4 2 5 3cos x＋ acos x＋ ≥ 0，即 acos x≥ 3 3cos x－ 在(－ ∞ ，＋ ∞ )恒成立． 3 ，得当 cos x＝ 0 时，恒有 0≥－ 5 ，得 3 a∈ R； 当 0cos x≤ 1 时，得 a≥4cos x－ 5 ，令 t＝cos x，f(t)＝ 4t－ 5 在(0,1] 上为增函数， 得 a≥ f(1) 1 ＝－ ； 3 3 3cos x 3 3t 当－ 1≤ cos x0 时，得 a≤ 4 5 ，令 t＝ cos x，f( t)＝ 4 5 在[－ 1,0)上为增函数，得 a≤ f(－ 1)＝ 3cos x－ 3cos x 1 .综上，可得 a 的取值范围是 －  1， 1  ，故选 C. 3t－ 3t 3 3 3 (山东 )若函数 y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称 y＝ f(x)具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是 ( ) A ． y＝ sin x B ． y＝ ln x C． y＝ ex D ． y＝ x3 答案 A 解析 对函数 y＝ sin x 求导，得 y′＝ cos x，当 x＝ 0 时，该点处切线 l 1 的斜率 k1 ＝1，当 x ＝π时，该点处切线 l2 的斜率 k2＝－ 1，∴ k1·k2＝－ 1，∴l 1⊥ l2；对函数 y＝ ln x 求导，得 y′ 1 x x ＝ x恒大于 0，斜率之积不可能为－ 1；对函数 y＝e 求导，得 y′ ＝e 恒大于 0，斜率之积不 可能为－ 1；对函数 y＝ x3，得 y′ ＝2x2 恒大于等于 0，斜率之积不可能为－ 1.故选 A. (天津 )已知函数 f(x)＝ (2x＋ 1)ex， f′ (x)为 f(x)的导函数，则 f′ (0)的值为 ． 答案 3 解析 因为 f (x)＝ (2x＋ 1)ex， 所以 f′ ( x)＝2ex＋ (2x＋ 1)ex＝ (2x＋ 3)ex， 所以 f′ (0) ＝3e0＝3. 1.导数的意义和运算是导数应用的基础， 是高考的一个热点 .2.利用导数解决函数的单调性与 极值 最值 问题是高考的常见题型 .3.导数与函数零点， 不等式的结合常作为高考压轴题出现 . 热点一 导数的几何意义 1．函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率，曲线 f (x)在点 P 处的切线的斜率 k＝ f′( x0)，相应的切线方程为 y－ f(x0)＝f′(x0)(x－ x0)． 2．求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同． 例 1 (1) 函数 f(x)＝excos x 的图象在 (0， f(0)) 处的切线方程为 ． (2) 已知 f (x)＝ x3－ 2x2＋ x＋6，则 f(x)在点 P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A ． 4 B ． 5 25 13 C. 4 D. 2 答案 (1)x－ y＋ 1＝0 (2)C 解析 (1)f′ (x)＝ excos x＋ ex(－ si