高二数学公式法求数列通项.docxVIP

PAGE PAGE 1 高 考 数 学 公式法求数列通项 公式法及三步法： Sn an Sn Sn ( n 1 (n 两种用途（列举） ，结果要验证能否写成统一的式子． 2) 例、数列  an 的各项都为正数，且满足 Sn 2 an 1 4  n N* ，求数列的通项公式． 解一：由 Sn 2 an 1 4  n N* 得 4an 1 4 Sn 1 Sn 2 an 1 1 2 an 1 化简得 an 1 an an 1 an 2 0 ， 因 为 an 0, an 1 an 2 ， 又 4S1 4a1 a1 1 2 得 a1 1 ， 故{ an } 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， 所 以 an 2n 1 ． 解二：由 Sn 2 an 1 4  n N* ， 可得 2 Sn an 1, 2 Sn Sn Sn 1 1 n 2 化简可得 2 Sn 1 Sn 1 ， 即 Sn Sn 又 S1 1 ， 1 1 ， 所以数列 { Sn } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 2 n∴ Sn n ，从而 S n ， n 所 以 an Sn Sn 1 2n 1， 又 a1 1 也适合，故 an 2 n 1 ． 练习：已知数列 {a n} 的 前 n 项 和 S n 满 足 a 2S S 0 （ n 2 ），a1= 1 ，求 a ． 答案： a n=  1 (n 1) 2 1 ． (n 2) 2n( n 1) n n n 1 2 n 扩展一：作差法 n例 1、在数列 { a n } 中 ， a 1 ， a 2a 3a L nan (n 1)2 n ，求 an ． 11 2 31 2 3n解：由 1 1 2 3 1 2 3 n 3a L na (n 1)2 n ， n1 2 3得 a n 1 2 3 3a L ( n 1)a (n 2) 2 n 1， 1两式相减，得 1  nan  6n 6 ，∴ an 1 (n=1) 6 6n ． (n 2) n 练习（理）：已知数列 { an} 满 足 a1 1， an a1 2a2 3a3 L (n 1)a n 1(n ，求 an ． 解：由 an a1 2 a2 3a3 L (n 1)an 1 (n 2) ， 得 an 1 a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 nan ， 两式相减，得 an 1 an nan ， an 1 即 an n 1(n 2) ， 所 以 a an an 1 L a3 a  [ n(n  1) L n! 4 3]a a ， n a a a 2 2 2 2 n 1 n 2 2 又由已知，得 a2 a1 2a2 ， 则 a2 a1 1 ，代入上式， 得 an  n! 1 3 4 5 L n ， 2 所以， { an } 的通项公式为 an 1 (n 1) n! ( n 2) ． 2 扩展二、作商法 例 1、在数列 { a } 中， a 1 ，对所有的 n 2 ， 都 有 a ? a ? a ?L ? a n2 ， 求 a ． 22n 1 1 2 3 n n 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n a ? a ? a ?L ? a n ，∴ a ? a ? a ?L ? a (n 1) ， 故 当 n  2 时，两式相除，得 an 2 1 2 3n2n 1 2 3 n 2 ( n 1)2 1 (n=1) ∴ a 2 ． n n ( n 2) (n 1)2