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中心极限制理证明 中心极限制理证明一、例子 [ 例 1] 高尔顿钉板试验 . 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子 . 每排钉子等距摆列 , 下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间 . 假定有排钉子 , 从进口中处放入小圆珠 . 因为钉板斜放 , 珠子在着落过程中遇到钉子后以的概率滚向左侧 , 也以的概率滚向右侧 . 假如较大 , 能够看到很多珠子从处滚到钉板底端的格子的情况以下图 , 堆成的曲线近似于正态散布 . 假如定义 : 当第次遇到钉子后滚向右侧 , 令; 当第次遇到钉子后滚向左 边, 令. 则是独立的 , 且 那么由图形知小珠最后的地点的散布靠近正态 . 能够想象 , 当愈来愈大时靠近程度越好 . 因为时 ,. 所以 , 明显应试虑的是的极限散布 . 历史上德莫佛第一个证了然二项散布的极限是正态散布 . 研究极限散布为正态散布的极限制理称为中心极限制理 . 二、中心极限制理 设是独立随机变量序列 , 假定存在 , 若关于随意的 , 建立称听从中心极限制理 . [ 例 2] 设听从中心极限制理 , 则听从中心极限制理 , 此中为数列 . 解: 听从中心极限制理 , 则表示此中. 因为, 所以 ——文章根源网，仅供分享学习参照 ~ 1 ~ 故听从中心极限制理 . 三、德莫佛 - 拉普拉斯中心极限制理 在重贝努里试验中 , 事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件 出现的次数 , 则 [ 例 3] 用频次预计概率时的偏差预计 . 由德莫佛—拉普拉斯极限制理 , 由此即得 第一类问题是已知 , 求, 这只需查表即可 . 第二类问题是已知 , 要使不小于某定值 , 应起码做多少次试验 ?这时利 用求出最小的 . 第三类问题是已知 , 求. 解法以下 : 先找 , 使得 . 那么 , 即. 若未知 , 则利用 , 可得以下预计 : . [ 例 4] 投掷一枚平均的骰子 , 为了起码有 0.95 的掌握使出现六点的概率与之差不超出 0.01, 问需要投掷多少次 ? 解: 由例 4 中的第二类问题的结论 ,. 即. 查表得 . 将代入 , 便得 . 因而可知 , 利用比利用契比晓夫不等式要正确得多 . [ 例 5] 已知在重贝努里试验中 , 事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数 , 则听从二项散布 : 的随机变量 . 求. 解: 因为很大 , 于是 所以 ——文章根源网，仅供分享学习参照 ~ 2 ~ 利用标准正态散布表 , 就能够求出的值 . [ 例 6] 某单位内部有 260 架电话分机 , 每个分机有 0.04 的时间要用外线通话 , 能够以为各个电话分机用不用外线是是相互独立的 , 问总机要备有多少条外线才能以 0.95 的掌握保证各个分机在使用外线时 不用等待 . 解: 以表示第个分机用不用外线 , 若使用 , 则令 ; 不然令 . 则. 假如 260 架电话分机同时要求使用外线的分机数为 , 明显有 . 由题意 得, 查表得 ,, 故取 . 于是 取最靠近的整数 , 所以总机起码有 16条外线 , 才能有 0.95 以上的掌握 保证各个分机在使用外线时不用等待 . [ 例 7] 依据孟德尔遗传理论 , 红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和 结黄果植株的比率为 3:1, 此刻栽种杂交种 400 株, 试求结黄果植株介 于 83 和 117 之间的概率 . 解: 将察看一株杂交种的果实颜色看作是一次试验 , 并假定各次试验是独立的 . 在 400 株杂交种中结黄果的株数记为 , 则. 由德莫佛—拉普拉斯极限制理 , 有 此中, 即有 四、林德贝格 - 勒维中心极限制理 假如独立同散布的随机变量序列 ,假定,则有 证明 : 设的特点函数为 , 则 的特点函数为 ——文章根源网，仅供分享学习参照 ~ 3 ~ 又因为 , 所以 于是特点函数的睁开式 进而对随意固定的 , 有 而是散布的特点函数 . 所以 , 建立 . [ 例 8] 在数值计算时 , 数用必定位的小数来近似 , 偏差 . 设是用四舍五 入法获得的小数点后五位的数 , 这时相应的偏差能够看作是上的平均 散布 . 设有个数 , 它们的近似数分别是 ,.,. 令 用取代的偏差总和 . 由林德贝格——勒维定理 , 以, 上式右端为 0.997, 即以 0.997 的概率有 [ 例 9] 设为独立同散布的随机变量序列 , 且相互独立 , 此中 , 证明: 的 散布函数弱收敛于 . 证明 : 为独立同散布的随机变量序列 , 且相互独立 , 所以还是独立同分 布的随机变量序列 , 易知有 由林德贝格——勒维中心极限制理 , 知的散布函数弱收敛于 , 结论得 证. 作业 : P222 EX 32,33,34,35 五、林德贝尔格条件 设为独