八年级数学上册课件 课题学习 最短路径问题.pptxVIP

微型课18 课题学习 最短路径问题八年级 数学主讲人13.4 课题学习 最短路径问题学习目标： 能利用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．回顾最短路径问题两点的所有连线中，线段最短垂线段最短回顾最短路径问题讨论：牧马人饮马问题和造桥选址问题． 问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？一、将实际问题抽象为数学问题把A，B两地抽象为两个点，河边l近似地看成一条直线． B·A·l·····C3C1C2一、将实际问题抽象为数学问题 C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：如图，当点C在直线l的什么位置时，AC与CB的和最小． B·A·lC二、尝试解决数学问题 探究1 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，点C为直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·A·lC二、尝试解决数学问题 如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？A·两点之间，线段最短lCB·二、尝试解决数学问题 点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 思考：问题能转化为A，B两点在直线l异侧的情况吗？B·AA··llCCB·二、尝试解决数学问题你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？ B·A·lCB′·B·A·l二、尝试解决数学问题 探究1 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，点C为直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？C·B′B·A·lCB′三、证明“最短”探究2 你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？证明AC+CBAC+CB．解题思路:要证AC+CBAC+CB·C′需证AC+CBAC+CB 即证 ABAC+CB ·B·A·lCB′证明：如图，在直线l上另外任取一点C，连接AC，CB，CB．∵ 直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上，∴ CB＝CB，B＝B．?∴ AC+CB＝AC+CB＝AB． 在△ACB 中，·C′?∵ ABACB， ∴ AC+CBACB，?·即AC+CB最小．B·A·lCB′三、证明“最短”　在直线l上另外“任取”一点C，就是除点C外什么地方都可以，由于点C位置的任意性，所以结论对于直线l上每一点（除C外）都成立，这也是数学中常采用的方法． ·C′·B·A·lCB′三、证明“最短” 通过轴对称变换，将直线同侧两点中的一点映射到了另一侧，而不改变路径的总长度，从而利用“两点之间，线段最短”使问题得到解决． ·C′··四、类比探究 问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）四、类比探究当点 N在直线b的什么位置时， AM+MN+NB最小？当点 N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？aA·MbN·B四、类比探究 能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把“左图”的情况转化为“右图” 的情况？aA·MA·bNl·BCB·四、类比探究当点 N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？当点N在直线b的什么位置时，AN+NB 最小？aA·MbAN·B四、类比探究在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．?aMA·MbANN·B四、类比探究 在直线b上另外任意取一点N，过点N作NM⊥a，垂足为M，连接AM，AN，NB，证明AM+MN+NBAMMNNB．?aA·MMb你能完成这个证明吗？AN·N·B四、类比探究解题思路:?要证 AMMNNBAMMNN??需证 AMNBANN?需证 AMNBANN??aA·MM需证 ANNBANN??bANN·B?即证ABANNB?证明：如图，在△ANB中，∵ ABANNB，ABANNB，∴ ANNBANNB． ???∵ ANAM，?∴ ANNBAMNB． ??∵ MMN，aA·∴ ANMNNBAMMN NB． ??MMbA?又 ANAM，∴ AMMNNBAMMN NB， ??NN·B?即 AMMNNB 最小．五、巩固练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．P·M·最短路径问题六、课堂小结1．本节课研究了什么问题？牧马人饮马问题和造桥选址问题．六、课堂小结 2．轴对称、平移在所研究问题中起什么作用？在解决问题的过程中渗透了什么数学思想？ 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．在解决问题的过程中渗透了化归的思想．B·A·lCB′六