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● § 7.1 常微分方程模型与基本概念 ● § 7.2 一阶微分方程 ★ § 7.3 特殊二阶方程的降阶法 第七章 常微分方程 ● § 7.4 二阶线性微分方程 § 7.3 特殊高阶微分方程的降阶法 7.3.1 不显含 y 的高阶微分方程 内容小结与作业 7.3.2 不显含 x 的高阶微分方程 Dept. Math. Sys. Sci. 应用数学教研室 高等数学分级教学 A2 班教学课件 代入原方程 , 得 解法: 特点: . , , ) 1 ( ? ? k y y y ? 及 不显含未知函数 ) ( ) ( x P y k ? 令 . , ) ( ) ( ) 1 ( k n n k P y P y ? ? ? ? ? 则 )). ( , ), ( , ( ) 1 ( ) ( x P x P x f P k n k n ? ? ? ? ? P ( x ) 的 ( n - k ) 阶方程 ), ( x P 求得 , ) ( ) ( 次 连续积分 将 k x P y k ? 可得通解 . 一、 型 ) , , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ? ? n k n y y x f y ? Dept. Math. Sys. Sci. 应用数学教研室 高等数学分级教学 A2 班教学课件 . 0 ) 4 ( ) 5 ( 的通解 求方程 ? ? y xy 解 ), ( ) 4 ( x P y ? 设 代入原方程 , 0 ? ? ? P P x x C P 1 ? 解线性方程 , 得 两端积分 , 得 原方程通解为 ) ( ) 5 ( x P y ? ? ) ( 0 ? P , 1 ) 4 ( x C y ? 即 , 2 1 2 2 1 C x C y ? ? ? ? ? , ? ? , 2 6 120 5 4 2 3 3 2 5 1 C x C x C x C x C y ? ? ? ? ? 5 4 2 3 3 2 5 1 d x d x d x d x d y ? ? ? ? ? 例 1 Dept. Math. Sys. Sci. 应用数学教研室 高等数学分级教学 A2 班教学课件 ) ( y p y ? ? 设 , dy dP p dx dy dy dp y ? ? ? ? ? 则 阶方程, 的 代入原方程得到新函数 ) 1 ( ) ( ? n y P 求得其解为 原方程通解为 , ) , , , ( 1 1 n n C x C C y dy ? ? ? ? ? ? 特点: . x 右端不显含自变量 解法: , ) ( 2 2 2 2 dy dP P dy P d P y ? ? ? ? ? , ? ? ), , , , ( ) ( 1 1 ? ? ? ? n C C y y P dx dy ? 二、 型 ) , , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ? ? n k n y y y f y ? Dept. Math. Sys. Sci. 应用数学教研室 高等数学分级教学 A2 班教学课件 . 0 2 的通解 求方程 ? ? ? ? ? y y y 解 , dy dP p y ? ? ? 则 ), ( y p y ? ? 设 代入原方程得 , 0 2 ? ? ? P dy dP P y , 0 ) ( ? ? ? P dy dP y P 即 , 由 0 ? ? ? P dy dP y , 1 y C P ? 可得 . 1 2 x C e C y ? 原方程通解为 , 1 y C dx dy ? ? 例 2 Dept. Math. Sys. Sci. 应用数学教研室 高等数学分级教学 A2 班教学课件 例 3. 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 ox 轴作直线 运动 , 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F ( T ) = 0 . 如果开始时质点在原点 , 解 : 据题意有 t F o T 0 F ? F ) 1 ( 0 T t m F ? ? ) 1 ( 0 T t F ? t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数 : F = F ( t ) . 小 , 求质点的运动规律 . 初速度
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