大学生数学建模：数学建模-Matlab在微积分及微分方程中的应用.pptVIP

Matlab应用（1）微积分及常微分方程 主讲人：刘 婷 Email:lt1210@ * * 刘婷 lt1210@ 一、微积分 二、常微分方程 一、微积分 （1）微分 diff(s,’v’,n) %表示以v为自变量对符号表达式s进行n阶求导 例 计算 解： syms t diff(sin(t^2)); 练习：计算 （2）定积分与不定积分 int(s,’v’,a,b) %表示以v为积分变量对符号表达式s在积分上限为b，积分下限为a的区间上求积分。 %若a,b缺省，则表示不定积分，若至少有一个为inf时，表示求广义积分。 syms x f=1/x^2; int(f) syms x f=sqrt(x^2+3); int(f,x,-1,1) 例 计算不定积分 例 计算定积分 （3）重积分的数值解 dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method) %对符号表达式fun求二重定积分，积分区域为[xmin,xmax]×[ymin,ymax]，精度为tol（若缺省则默认为10－6），选择方法用method表示（若缺省则为quad算法） triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %对符号表达式fun求三重积分，积分区域为[xmin,xmax]×[ymin,ymax]×[zmin,zmax] 练习 计算 在区间[-1,1]×[-1,1] 上的二重定积分。 解： fxy=@(x,y) exp(-x.^2/3).*sin(x.^2+2*y); I=dblquad(‘fxy’,-1,1,-1,1) 练习 计算 在区间[0，??]× [0,1]×[－1,1]上的三重定积分。 解： F = @(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x); Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1); Q 注意：刚才的命令适用于常数区间的重积分，若包含变量的积分区间的重积分，可参照下例进行积分。 例 求二次积分 解 输入命令 sysms x y int(int(x*y,y,2*x,x^2+1),x,0,1) 得1/12 注：三次积分类似可得，可见重积分需先自己写出积分区。 二、常微分方程的matlab求解 （1）常微分方程的符号解 dsolve(‘equation’,’condition’,’v’) %其中equation代表常微分方程式，即y’=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y’，D2y代表二阶微分项y’’，condition则为初始条件，解表示为v的函数。 %若初始条件condition缺省则求得通解，否则求得特解。 例 计算微分方程 在初始条件 下的特解。 解 dsolve(x*Dy+2*y-exp(x)=0,… y(1)=2*exp(1),x) 练习 求 的解 解 dsolve(D2y+2*Dy+exp(x)=0,x) （2）常微分方程的数值解 精度低，时间短 一步法，2阶Rosebrock算法 ode23s 精度低，时间短 梯形算法，低精度 ode23tb 用于ode45失效时 多步法，Gear’s反向数值微分 ode15s 适度刚性情形 梯形算法 ode23t 刚性 ODE 求解 时间比ode45短 多步法，Adams算法 ode113 适用于精度低 一步算法，2/3阶龙格库塔方程 ode23 普遍首选 一步算法，4/5阶龙格库塔方程 ode45 非刚性 ODE 求解 说明 特点 函数 例 求描述某非刚性体的运动方程的微分方程 解 ，其初始条件为 首先编写函数文件rigid.m function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % 行向量 dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); 然后执行 options = odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,[1e-4 1e-4 1e-5]); [T,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-.,T,Y(:,3),.) 练习 设有常微分方程 求其数值解，并与精确解相比较。