绕竖直轴旋转周形成.自然半径、质量、劲度系数的弹性圆.docVIP

一．填空题（每题 5 分，共 20 分）： ．某光滑曲面由曲线 y f x 绕竖直 y 轴旋转一周形成．一自然半径 a 、质量 m 、 1 劲度系数 k 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度处，则曲线方程 为 ． 2 2 参考解答： y C 2πk x a （ C 为任意常数）． mg 2．如图所示的电阻框架为四维空间中的超立方体在三维空间中投影的模型（可 视为内外两个立方体框架，对应顶点互相连接起来） ，若该结构中每条棱均由电 阻为 R 的材料构成，则 AB 节点间的等效电阻为 ． A B 参考解答： 7 R ． 12 3．某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长约为 500nm 的光，它是由约 5000 个小眼 构成的复眼， 小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上． 小眼构造很精巧， 顶部有一个透光的圆形集光装置， 叫角膜镜； 下面连着圆锥形的透明晶体， 使得外部入射的光线会聚到圆锥顶点连接的感光细胞上 （入射进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点” （像素）；所有小眼的影像点就 拼成了一个完整的像．若将复眼看作球面圆锥，球面半径 r 等于 1.5mm，则蜜蜂 小眼角膜镜的最佳直径 d 约为（请给出两位有效数字） ． 参考解答： 30 μm ． 4．开路电压 U O 与短路电流 I SC 是半导体 p-n 结光电池的两个重要技术指标，试 给出两者之间的关系表达式： U O ，式中各符号代 表的物理量分别为 ． 参考解答： U O kT ln I SC 1 ，式中 e 为电子电荷量的绝对值， k 为玻尔兹曼常量， T 为绝 e IS 对温度， I S 为 p-n 结反向饱和电流． - 1 - 二．（ 15 分）天体或微观系统的运动可借助计算机动态模拟软件直观显示，这涉及几何尺寸的按比例缩放．为使显示的运动对缩放后的系统而言是实际可发生的，运行时间也应缩放． 1．在牛顿力学框架中， 设质点在力场 F r 中作轨道运动，且有 F r kF r ， k 为常数， r 为位矢．若几何尺寸按比率 缩放显示， 确定运行时间的缩放率 ． 2．由此证明，行星绕太阳轨道运动周期的平方与轨道几何尺寸的立方成正比． 参考解答 ： 1．设位矢、时间缩放为 r r 、 t t ，故速度、加速度满足关系 v lim r lim r v ， (1) 0 t t t t 0 a lim v lim v a ． (2) 0 t 2 0 t 2 t t 缩放前后质点运动均满足牛顿运动方程，即 ma F r ， ma F r ． 利用 (2)式及 F r k F r ，(4)式化为 ma k 1 2F r ． 对照 (3)式，得 1 k 2 ． 2．万有引力场 k 2 ，设想轨道尺寸按 l l 缩放，则周期按 3 2 缩放，故有 2 2 l 3 l 3 ．  (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) - 2 - y 三．（20 分）在水平面上有两根垂直相交的内壁光滑连 通细管，管内放置两个质量均为 m 、电荷量均为 q 的 同号带电质点 A 和 B．初始时质点 A 至两管交点 O 的 距离为 d ，质点 B 位于交点 O 处，速度相互垂直，方 B A x 2 O u0 d 向如图所示，大小均为 u0 kq k u0 md ， 为静电力常量．求 在以后运动中，它们之间的最小距离． 参考解答 ： 两质点的相对位矢为 r rB rA ，记其单位矢量为 er r r ．由于质点约束在 管内运动，所受合力必定沿运动方向， 即为静电力沿运动方向的分力． 两质点运动方程 maA kq2 er i i r 2 (1) kq2 ， maB er j j r 2 相减可得 2 ma kq2 er ， (2) r 其中 a aB aA 为 B 相对 A 的加速度． (2)式表明， B 相对 A 的运动即力心固定 之库仑势场中质点 m 的运动，其电势能为： U kq2 ． (3) r 中心力场中运动质点的角动量、能量守恒．此处角动量与能量均应为 B 相 对 A 运动的值，可由初始条件定出： L mdi u0 j u0i md kq2 ， (4) md E 1 m u0 j u0 i kq 2 2kq 2 ． (5) 2 2 d d 所求量即近力心点到力心的距离 rm ，该点速度 um 必与矢径 rm er 垂直，故有 mr u md kq2 ， (6) m m md 1 mum2 kq2 2kq2 ． (7) 2 rm d - 3 - 从上两式解得 rm 1 5 d ． (8) 4 - 4 - 四．（10 分）热机和热泵利用物质热力学循环实现相反