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实数题型归纳练习 一.无理数 1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数 说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括：（1）开方开不尽的数， 如 5 ；（2）有特定意义的数，如， 及含 的数；（3）有一定结构的无限小数，如， 0.080080008…；（4）无限不循环小数。 注意：带根号的数不一定是无理数，如 4 是有理数；不带根号的数也可能是无理数，如π 等。 一个有理数 a 与一个无理数 b 进行四则运算时，a＋b，a-b，都是无理数，当 a≠0 时， a b a ab， , 都是无理数，当 a＝0 时，ab， 都是有理数。 b a b 2. 无理数的特征： （1）无理数的小数部分位数无限；（2）无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 3. 小数的分类 4. 确定 a 的整数部分和小数部分的方法： 把a 夹在两个连续的正整数的平方之间，确定其整数部分，例如：求 5 的整数部分。 因为22  5  32 ，，所以2  5  3 ，因此整数部分为 2。小数部分就是 5  2 。 二. 平方根 1. 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于 a，即x 2  a ，那么这个正 数 x 就叫做 a 的算术平方根，特别地，０的算术平方根是 0。 2 （2）算术平方根的表示方法：非负数a 的算术平方根记作 “ a ”或 “ a ”，读作 “根号 a”， 其中符号“ ” 读作“二次根号”，a 叫做被开方数，2 叫做根指数，通常省略不写。 2 例如：4 ＝16，16 的算术平方根是4，即 16  4 。 - 1 - （3）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根为 a ，②0 的算术平方根是 0，即 0 ＝ 0，（3）负数没有算术平方根。 （4）算术平方根 a 具有双重非负数：①被开方数是非负数，即a≥0，②算术平方根 a 本身是非负数，即 a ≥0。③若 a  a 和同时出现在一个式子中，由于 a  0 且  a  0 ，则可得出a  0 。 （5）理解算术平方根要注意的三点： ① a 具有双重非负数：即 a≥0， a ≥0。 ②算术平方根与平方根的相同点是它们的被开方数都必须是非负数，零的平方根与算术 平方根都是零。 不同点是：任何正实数的平方根都有两个，这两个平方根互为相反数，但是任何正实数 的算术平方根只有一个，是正实数平方根中的正值。 ③当二次方根被开方数是含有字母的代数式时，它是否有意义，则需看被开方数是否非负。 2. 平方根 （1）平方根的概念：一般地，如果一个数x 的平方等于 a，即x 2  a ，那么这个数x 就叫 做 a 的平方根（也叫做二次根式）。 （2）平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根“ a ”，另一个 是 “ a ”，它们互为相反数，合起来记作 “ a ”，读作 “正，负根号 a”，例如：5 的 平方根是 5 ；②０的平方根是０；③负数没有平方根。 3. 开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开平方。 如：因为(5)2  25 ，所以 25  5 说明：由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根 或算术平方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正确，注意被开方数是非负数。 4. 平方根与算术平方根的区别与联系 （1）区别：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反