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实数完备性基本定理的相互证明（30 个） 一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设an 为有上界的单调递增数列. 由确界原理，数列an  有上确界，令a  sup an  ，下面证明：lim an  a . n 对任意的  0 ，由上确界的定义，存在数列an 中某一项aN ,使得：a    aN . 由于an  单调递增,故对任意的n  N ，有：a    an  aN . a a n 另一方面,由于 是 n  的一个上界,故对任意的正整数 都有：an  a  a   . 所以任意的n  N ，有：a    a  a   ，即： a  a   . n n 由极限的定义，lim a  a .同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界. n n 2.确界原理证明区间套定理 证明：设a ,b 是一个闭区间套. 令数集S  an  . n n 由于任一bn 都是数列an  的上界，由确界原理，数集S 有上确界，设sup S   . 下证 属于每个闭区间 a ,b n  1, 2,3,    n n   a   n  1, 2,3,  n 显然， n   ，故只需证明对任意正整数 ，都有  b . n n S 事实上，对任意正整数 ，b 都是 的上界，而上确界是最小上界，故必有  b . n n 所以存在实数 ，使得  a ,b n  1, 2,3,    n n   下证唯一性，假设还有另外一点  ，也满足   a ,b n  1, 2,3,  .则     b  a  0 n   ，故有:  n n   n n       .唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理 证明：欲证闭区间a,b 的任一开覆盖H 都有有限的子覆盖. 令S  x | a, x 能被H 中有限个开区间覆盖，a  x  b     S a,b  , H a x  a, a, x 显然 有上界.又H 覆盖闭区间  ，所以，存在一个开区间  ，覆盖住了 .取 