高中数学_3.2 简单的三角恒等变换教学设计学情分析教材分析课后反思.doc

§3．2 简单的三角恒等变换（3）教学设计 【设计理念】 本节课的设计理念是以学生为主体，以教师为主导，以三角恒等变换在实际生活中的应用教学为明线，以发展学生的数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养为暗线，努力通过课堂教学来揭示三角恒等变换的过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的丰富的数学思想方法，实现数学课堂的育人价值. 【教学过程】 一、课前复习 1.中，，所对的边分别是，则_______;________;__________． 2.当时，求函数何时取得最大值，并求出最大值． 设计意图：复习本节课所需的相关基础知识，让学生明确运用三角恒等变换求三角函数最值的基本解题思路，就是将三角函数式化成类似于的标准形式和注意的要点（数形结合求最值）. 二、情境引入 有一块以为圆心的半圆形空地，园艺师要在这块空地上划出一个内接矩形开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，且，两点的位置关于圆心对称，已知半圆的半径为．请你帮忙确定点在何位置时，矩形的面积最大？ 设计意图：通过情景问题引发学生认知冲突，此问题给学生创设了很大的思维空间，学生直觉会想到矩形的长与宽有某种特殊关系时，其面积最大。如何说明理由呢？ 那就是由点是半圆上的动点，引入合适的变量，建立函数模型。期待学生的解题思路是引入变量角，转化为三角函数运用三角恒等变换求最值；或者引入一边长的变量，通过代数变换的知识解决此题。 三、探究例题 例4 ：木工师傅要用一块圆心角为半径为1的扇形木板中裁出一块一边在半径上的内接矩形桌面，如何操作才能矩形的面积最大呢？并求出这个最大面积． 【设计意图】将这个实际问题数学化，就是课本上的例题4. 如图，已知是半径为1,圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形．记,求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积． 【分析】当在扇形弧上运动时，矩形的边长在变化，角也在变化，角取何值时，矩形的面积最大，需先找出与之间的函数关系，再求函数的最值.具体可设计提出如下的问题： 问题1：题目中自变量的取值范围是多少？ 设计意图：导学生从题目已知中找到自变量的取值范围，为后面求函数最值做好准备. 问题2：矩形的一条边用如何表示？呢？ 设计意图：导学生将矩形的两条边利用题目中的边角关系进行正确的表示（在表示的过程中用到了解直角三角形的知识），为与之间的函数关系表达式做好铺垫. 问题3：矩形的面积与的函数关系如何表示？ 设计意图：引导学生将与之间的函数关系表达式正确表示出来. 问题4：对函数表达式进行三角恒等变换化简会用到哪些公式？ 设计意图：引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中常用的降幂、逆向使用公式、减少差异化辅助角公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,培养学生的运算能力及逻辑推理能力.通过三角变换,我们把形如的函数转化为形如的函数,从而使问题得到简化.体会这个过程中所蕴涵的化归思想. 问题5：由角的范围如何求面积的最大值？ 设计意图：将形如：的函数转化为的函数形式后,可以研究函数的周期、单调性、最值、对称性等性质，实现一、三章知识的完美融合，让学生体会化归思想在数学中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题。通过利用公式解决实际问题，让学生体会数学思想的实际应用，体会建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生利用数学知识解决实际问题的能力. 问题6：此题中若去掉“记,求当角取何值时”，结论改成直接求“矩形的最大面积”，你还会如何建立函数模型呢？ 设计意图：对自变量可多一种选择，如设 (),尽管学生对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 总体上，本环节通过以上六个问题形成的问题组，力求在师生的合作引导启发下，使学生的思维步步深入，有序思考，连续思考和有深度的思考，来最大限度挖掘学生潜能，体现学生的主体性. 【方法感悟】 1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解. 2.三角恒等变换主要依靠和差角公式与二倍角公式，在进行恒等变形时，既注意分析角之间的差异．寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的． 3．把形如的式子化成 的形式，体现了化归思想，有利于研究函数的图象和性质. 4.在求解最值得过程中，要注意分析角的范围，数