概率论与数理统计课件：ch5_3 抽样分布.pptVIP

* * Probability and Statistics– Chapter 5 Statistics and its Distribution Algebra– Chapter 1 Random Events and Probability Tan Kah Kee College §5.1 基本概念 §5.2 常用统计分布 §5.3 抽样分布 教学内容 Chapter 5 Statistics and its Distribution 第五章 统计量及其分布 Content 抽 样 分 布 有时总体分布的类型虽然已知， 但含有未知参数 此时需要对总体的未知参数或数字特征如期望方差 进行统计推断， 此类问题称为参数统计推断. 在参数统计推断问题中，常需利用总体的样本 构造出合适的统计量，并使其服从或渐近服从已知 的分布. 统计学中泛称统计量的分布为抽样分布. 讨论抽样分布的途径有两个. 一是精确地求出抽样 分布， 并称相应的统计推断为小样本统计推断; 抽 样 分 布 另一种方式是让样本容量趋于无穷，并求出抽样 分布的极限分布. 然后在样本容量充分大时, 再利 用该极限分布作为抽样分布的近似分布，进而对 未知参数进行统计推断，称此为大样本统计推断. 下面重点讨论的正态总体的抽样分布属小样本统计. 此外, 也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限 分布, 这就属于大样本统计范畴. 单正态总体的抽样分布 设总体 的均值为 方差为 取自 的一个样本， 与 分别为该样的样本均 值与样本方差， 则有 而 是 定理1 定理2 二、正态总体的样本均值 设　　　 是来自总体 的样本 分别是样本均值和样本方差， 则 与 独立. 与样本方差的分布 掌握 适用总体 已知 定理3 设　　　 是来自总体 的样本 分别是样本均值和样本方差， 则 掌握 适用总体 未知 注 记号而已 对比定理2 样本减不同量 自由度的变化 两者独立 设总体 ,样本为 t分布定义 证 结论(1)是 分布定义的直接推论. 定理2(2) 例1 设 为 的一 个样本, 求: 样本均值 的数学期望与方差; 解 由于 样本容量 所以 于是 由 得 故 例2 假设某物体的实际重量为 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了 次, 得到 假设每次称量过程彼此独立且没有系 统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布 方差 反映了天平及测量过程的总 精度, 通常我们用样本均值 去估计 根据定 理1, 再从正态分布的 性质知 这就是说, 我们的估计值 与真值 的偏差不超 过 的概率为 并且随着称量次数 的增加, 这个偏差界限 愈来愈小. 例如, 若 则 于是我们以 的概率断言, 与物体真正重 量 的偏差不超过 0.09. 如果将称量次数 增加 到 100, 则 这时, 我们以同样的概率断言, 与物体真正重量 的偏差不超过 0.03. 例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研 究弹着点偏离目标中心的距离的方差. 对于一类 导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从 正态分布 这里 现在进 行了 25 次发射试验, 用 记这 25 次试验中弹 着点偏离目标中心的距离的样本方差, 试求 超过 50 米 的概率. 解 根据定理 2, 有 例3 解 根据定理 2, 有 于是 (查表) 于是我们可以以超过 的概率断言, 超过 50 米 24 定理 4(1) 则 分别是这两个样本的样本均值, 且X与Y 独立, X1, X2,…, 是取自X的样本, 分别是这两个样本的样本方差, Y1,Y2,…, 是取自Y的样本, 设 和 和 掌握 适用总体 已知 注 (两总体样本均值差的分布) (两总体样本方差比的分布) 定理 4(2) 则 分别是这两个样本的样本均值, 且X与Y 独立, X1, X2,…, 是取自X的样本, 分别是这两个样本的样本方差, Y1,Y2,…, 是取自Y的样本, 设 和 和 掌握 适用总体 已知 注 因为 由相互独立性及F分布的定义可知： 证 注 若 则 理解 (两总体样本均值差的分布) 分别是这两个样本的样本均值, 且X与Y 独立, X1, X2,…, 是取自X的样本, 分别是这两个样本的样本方差, 则 Y1,Y2,…, 是取自Y的样本, 定理4(3) 设 和 和 掌握 适用总体 未知 注 加权平均 (1)与(3)应用场合的差别 由定理条件有 所以 又因 证 理解 并且它们是相互独立