概率论与数理统计课件：ch6-3 置信区间.pptVIP

* * Probability and Statistics– Chapter 6 Parameter Estimation Algebra– Chapter 1 Random Events and Probability Tan Kah Kee College §6.1 点估计问题概述 §6.2 估计量的常用方法 §6.3 置信区间 §6.4 正态总体的置信区间 教学内容 Chapter 6 Parameter Estimation 第六章 参数估计 Content 引言 前面讨论了参数的点估计， 它是用样本值算出的一 个值去估计未知参数. 即点估计值仅仅是未知参数 的一个近似值， 它没有给出这个近似值的误差范围. 例如， 在估计某湖泊中鱼的数量的问题中， 若根据 一个实际样本， 利用最大似然估计法估计出鱼的数 量为50000条， 这种估计结果使用起来把握不大. 际上， 于50000条， 且可能偏差较大. 若能给一个估计区计， 实 鱼的数量的真值可能大于50000条， 也可能小 引言 让我们能较大把握地 (其程度可用概率来度量之) 相信鱼的数量的真值被含在这个区间内, 计显然更有实用价值. 本节将引入的另一类估计， 即区间估计. 在区间估计 理论中， 被广泛接受的一种观点是置信区间， 这样的估 它是由奈曼(Neymann)于1943年提出的. 置信区间的概念 定义 设 为总体分布的未知参数， 取自总体 的一个样本， 对给定的数 若存在统计量 使得 则称随机区间 为 的 双侧置信区间, 称 为置信度， 是 又分别称 与 为 的双侧置信下 限与双侧置信上限. 置信区间的概念 注: 1. 置信度 的含义： 在随机抽样中， 若重复 抽样多次， 得到样本 的多个样本值 对应每个样本值都确定了一个置信区 间 每个这样的区间要么包含了 的真值, 不包含 的真值. 根据伯努利大数定理, k充分大时， 个， 当所样次数 这些区间中包含 的真值的区间大约有 要么 不包含 的真值的区间大约有 个. 置信区间的概念 例如， 若令 重复抽样100次， 则 其中大约有95个区间包含 的真值, 大约有5个区间 不包含 的真值. 2. 置信区间 也是对未知参数 的一种估计, 区间的长度意味着误差， 故区间估计与点估计是互 补的两种参数估计. 置信区间的概念 3. 置信度与估计精度是一对矛盾, 置信度 越 大, 置信区间 包含 的真值的概率就越大, 但 区间 的长度越长, 对未知叁数 的估计精度就 越差. 反之, 对参数 的估计精度越高, 置信区间 长度就越小， 包含 的真值的概率就越低, 度 越小. 一般准则是： 在保证置信度的条件下尽可能提高估 计精度. 置信 寻求置信区间的方法 基本思想： 在点估计的基础上, 构造合适的含样本 有待估参数 的函数 且 的分布已知, 给定的置信度导出置信区间. 一般步骤： （1） （2） 且 的分布已知； 并针对 的某个较优估计量 选取未知参数 构造一个依赖于样本与参数 的函数 围绕 寻求置信区间的方法 （3） 确定 与 使 对给定的置信水平 与 在常用分布情况下， 这可由分位数表查得； （4） 则 就是 的置信度为 的置信区间. 通常可选取满足 的 作恒等变形化为 对不等式 例1 设总体 为已知, 为未知, 设 是来自 的样本, 求 的置信水平为 的置信区间. 解 已知 是 的无偏估计, 而 不依赖于任何未知参数. 按标准正态分布 的双侧 分位数的定义, 且 有 例1 设总体 为已知, 为未知, 设 是来自 的样本, 求 的置信水平为 的置信区间. 解 这样, 就得到了 的一个置信水平为 的置信区间 常写成 即 若取 即 及 表得 则得到一个置信水平为0.95 查 的置信区间 例1 设总体 为已知, 为未知, 设 是来自 的样本, 求 的置信水平为 的置信区间. 解 则进一步得到一个置信水平为0.95的置信区间 这个区间的含义是: 若反复抽样多次, 每组样本值均 确定一个区间, 在这些区间中, 包含 的约占95%, 若由一个样本值得样本均值的观察值 或者说该区间属于包含 的区间的可信程度为95%. 分布参数的置信区间 考虑 分布情形， 设其总体 的分布律为 现求 的置信度为 的置信区间. 已知 分布的均值和方差分别为 设 是总体 的一个样本， 由中心极 限定理知， 当 充分大时， 近似服从 分布, 对给定的置信度 有 经不等式变形得 其中 解式中不等式得 其中 解式中不等式得 其中 于是 可作为 的置信度为 的置信区间.