齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案.docVIP

学习必备 欢迎下载 3.6 齐次线性方程组的基础解系 通过本节内容的教学，使学生： 教学目的 1. 掌握齐次线性方程组的基础解系的定义； 会求齐次线性方程组的基础解系。教学重点 1. 齐次线性方程组的基础解系的定义； 如何求齐次线性方程组的基础解系。教学难点 求齐次线性方程组的基础解系。 授课方法 讲授法 教学仪器 电脑，投影仪，电子教鞭，多媒体课件。 参考 1. 高等代数 北京大学数学系编 高等教育出版社 文献 2. 高等代数 张禾瑞编 高等教育出版社 3. 高等代数 姚慕生编 复旦大学出版社 教学过程 导入 齐次线性方程组有无穷多个解时解之间是否有内在联系？能否用其中的有新课 限个解表示它的无穷多个解？怎么表示？ 齐次线性方程组的基础解系的定义 齐次线性方程组 AX 0 的解 1 , 2 , , t 满足： (1) 1, 2 , , t 线性无关； (2) AX 0 的任意一个解都可由 1 , 2 , , t 线性表示则称 1 , 2 , , t 是 齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 。 若已知齐次线性方程组的基础解系，则该方程组的所有解如何表示？ 设齐次线性方程组 AX 0 的所有解作成的集合为 V ， 1 , 2 , , t 是它的一个 基础解系，则 V= X X=k1 1 +k2 2 + +ks s 。 新 课3. 如何求齐次线性方程组的基础解系的理论推导。 讲 设齐次线性方程组的系数矩阵 A的秩为 r 。 授(1) 当 r n 时，该方程组只有零解。因此此时没有基础解系。 (1) 当 r n 时，该方程组有非零解，且有无穷多个解。不妨设 A 的左上角的 r 阶子式不为 0。 1 0 0 b1 r 1 b1 n 0 1 0 b2 r 1 b1r 1 b2 n 初等行变换 0 1 br brn 。这就相当于原方程组同解于 A 0 1n 0 0 0 0 0  备注 提 前 5 分 钟 到 教 室 把 ppt 复 制 到 电 脑 上 0 0 0 0 0 新 课 讲 授 巩固 新课 小结 学生 课后 思考 学习必备 欢迎下载 x1 + b1 r 1 xr 1 b1 r 2 xr 2 b1 n xn 0 x2 b2 r 1 xr 1 b2 r 2 xr 2 b2 n xn 0 （ 2） xr br r 1 xr 1 br r 2 xr 2 br n xn 0 把方程组（ 2）中含有 xr 1 , xr 2 , , xn 项移到方程的右边得 x1 =-( b1 r 1 xr 1 b1 r 2 xr 2 b1 n xn ) x2 =-( b2 r 1 xr 1 b2 r 2 xr 2 b2 n xn ) （3） xr =-( br r 1 xr 1 br r 2 xr 2 br n xn ) 因此，方程组（ 1）（2）（ 3）同解。 x1 c11 c21 cn r 1 x2 c12 c22 cn r 2 xr 1 1 0 0 方程组（ 3）中令 xr 2 0 , 1 , 0 得 xr c1 r , c2 r , cn rr 。分 xr 1 1 0 0 xn 0 0 1 xr 2 0 1 0 xn 0 0 1 别记以上解为 r 1 , r 2 , , n 。 只需证明 r 1 , r 2 , , n 线性无关和方程组（ 3）的任意一个解都可以由 r 1 , r 2 , , n 线性表示即可证明 r 1 , r 2 , , n 是方程组（ 3）的一个基础解 系，当然也是方程组（ 1）的基础解系。 求一个具体的齐次线性方程组的基础解系的例题去加深如何求齐次线性方程组的基础解系。 2 x1 2 x2 2x3 2x4 2 x5 0 求方程组 2 x1 5x2 3x3 2x4 3x5 0 的一个基础解系。 7 x1 7x2 3x3 x4 9x5 0 当齐次线性方程组有非零解时，它有无穷多个解。这无穷多个解可用其中有限个线性无关的解表示，也就是用齐次线性方程组的基础解系来线性表示； 学会用初等变换的方法求齐次线性方程组的基础解系。 齐次线性方程组的基础解系定义中的第 1 个条件能否去掉，为什么？ 齐次线性方程组的基础解系是不是唯一？若不唯一，则不同的基础解系之间有什么关系？ 如何取自由未知量的值才能使得：解形如（ 3）的方程组的解成为其基础解系？ 学习必备 欢迎下载