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专题08 隐零点问题 有一种零点客观存在，但不可解，然而通过研究其取值范围、利用其满足的等量关系实现消元、换元以及降次达到解题的目的.这类问题就是隐零点问题. 类型一 根据隐零点化简求范围 典例1. 已知函数的图像在点(其中为自然对数的底数)处的切线斜率为3. （1）求实数的值； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值； 【答案】 【解析】解析：（1），由解得； （2），，， 令，有，那么. 不妨设，由，，则可知，且. 因此，当时，，；当时，，； 即可知， 所以，得到满足条件的的最大正整数为3. 类型二 根据隐零点分区间讨论 典例2 已知函数，为何值时，方程有唯一解. 【答案】 【解析】 ， 当时，有； 设，；又，，不妨设， 则可知. 当时，得到； ， 令，易知，且时，；时，； 综上可知在区间上为减函数，在区间上为增函数；画图函数图像： 因此，可知所求的范围为. 类型三 根据隐零点构造新函数 典例3 已知函数，当时，，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】，首先，当时，在上恒成立，则有． 其次，当时，令，，由题1可知，当，即时，．此时,同样有．再者，当时，函数与相交于点和．同时，当时，；当时，. 即可知，将代入得到： ，令，则． 又由变式2可知，那么，即在区间上递减，因此有，与矛盾，故不合题意． 综上可知，满足题意的实数a的取值范围为． 1．已知函数f(x)=x?ex-a(lnx+x)，g(x)= （1）讨论函数f(x)的极值点个数； （2）当a=1时，f(x)≥g(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当a≤0时，无极值点；当a0时，有且仅有1个极值点；（2）(-∞,0] 【解析】 （1）f(x)的定义域为(0,+∞)， f 因为函数y=(xex) 所以函数y=xex在区间(0,+∞)上单调递增，且值域为 ①当a≤0时，xex-a0 即f 故f(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以无极值点； ②当a0时， 方程xex-a=0 当0xx0时，f 当xx0时，f 所以x0是函数f(x) 即函数f(x)只有1个极值点. （2）当a=1时，不等式f(x)≥g(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立， 即xex- 即ex-ln 记F(x)=e F 记h(x)=x 因为h(x)=2xex+ 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增， 且h(1e)= 所以存在x0∈1 且x∈0,x0时，h(x)0，F 当x∈x0,+∞时，h(x)0，F 所以F(x)min=F 又因为h ?x ? x0 ?x 所以x0 因此F(x)min= 所以1≥m+1，解得m≤0. 综上，实数m的取值范围是(-∞,0]. 2．已知f(x)=x-12( （1）若f(x)是(0,+∞)上的增函数，求k的取值范围； （2）若函数f(x)有两个极值点，判断函数f(x)零点的个数. 【答案】(1) (-∞,1] (2) 三个零点 【解析】 （1）由f(x)=x-12( 由题意知f(x)≥0恒成立，即x-lnx-k≥0，设 x∈(0,1)时F(x)0，F(x)递减，x∈(1,+∞)时， 故F(x)min=F(1)=1-k≥0，即k≤1，故k （2）当k≤1时，f(x)单调，无极值； 当k1时，F(1)=1-k0， 一方面，Fe-k=e-k0，且F(x)在 另一方面，Fek=ek-2k，设g(k)= 在(1,+∞)递增，则g(k)g(1)=e-20，即Fek0，又F(x) F(x)在区间1,e 因此，当k1时f(x)在e-k,1和 x2 x11x2，当x∈0,x1时 f(x)0；当x∈x2,+∞时F(x)0，即f 递减，在x2,+∞递增；于是x1 下面证明：fx1 由fx1=0得x 得fx1= 令m(x)=x+12( ①当x∈(0,1)时m(x)0，m(x)递减，则m(x)m(1)=0，而 ②当x∈(1,+∞)时m(x)0，m(x)递减，则m(x)m(1)=0，而x2 一方面，因为fe-2k=e-2k-10，又fx e-2k,x1上有一个零点，即 另一方面，根据ex1+x(x0)得 fe4k= 又fx20，且f(x)在x2,+∞递增，故f(x) x2 又f(1)=0，故f(x)有三个零点. 3．已知函数f(x)=xlnx-ln （Ⅰ）令h(x)=f(x)-g(x) ①当k=1时，求函数h(x)在点(1,h(1))处的切线方程； ②若x∈A=|x|x1|时，h(