专题10 多变量的不等式恒成立与存在性问题（解析版）.docx免费

专题10 多变量的不等式恒成立与存在性问题 含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题，主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值. 类型一 分类讨论差函数最值 典例1. 若不等式在上恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题可设则问题转化为在上恒成立，则 （ⅰ）?当时 则在上单调递增，所以 在上恒成立，与已知不符，故不符合题意． （ⅱ）当时，令 且 即时， 于是在 上单调递减，所以 即 在上成立．则在上单调递减，故在上成立，符合题意． ，即 时， 若 则 在上单调递增； 若在 则在上单调递减， 又 则在上成立，即 在上恒成立，所以在上单调递增，则在上恒成立．与已知不符，故不符合题意．综上所述， 的取值范围. 即答案为. 【名师指点】恒成立等价与恒成立，记，则，本题中由于有参数，需要分类讨论，利用导数求最值． 【举一反三】已知函数若当时，恒成立，则的取值范围______． 【答案】 类型二 参变分离求具体函数最值 典例2 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________． 【答案】100 【解析】由正弦定理得 因此 ，即的最小值为100 【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“”形式，则只要求出的最大值，然后解即可． 【举一反三】若不等式对任意满足的实数， 恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】∵不等式x2?2y2?cx(y?x)对任意满足xy0的实数x、y恒成立， ∴，令=t1， ∴， ， 当时,f′(t)0,函数f(t)单调递增; 当时,f′(t)0,函数f(t)单调递减。 ∴当时,f(t)取得最小值, . ∴实数c的最大值为. 类型三 数形结合求临界点 典例3 设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为. 【名师指点】等价于在公共定义域区间内，函数的图像落在的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围． 【举一反三】已知函数,若||≥,则的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 1.对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，所以，令 ，则 当时 ；当时 因此要有两个y，需 2.定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f(2sinx－2)f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为 是偶函数，所以函数f(x)的图象关于 对称，由题意知 在 上为增函数，则在 上为减函数，所以不等式 恒成立等价于 即 两边同时平方，得 即 ，即 或，即或，即或，即 或 ，故的取值范围为 即答案为 3.设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________． 【答案】 【解析】∵ ∴ ∵对任意，不等式恒成立 ∴，简可得 ∴且，即 ∴ ∴ ∴ ∴ 令，则 ∴当时， ，当且仅当时取等号 当时， 综上所述， 的最大值为 故答案为 4.若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】原不等式等价于.令，则，因在上是单调减函数，且，故当， ， 在内是单调增函数；当，当， ， 在内是单调减函数，所以 ，所以，解得，填． 5．设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是 ． 【答案】 【解析】 不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如下图所示： 因为 ，所以由得： 设目标函数为：，因为，所以其最优解只可能在顶点处取得， 所以，要使恒成立，一定有： 此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为 的矩形，面积为. 所以答案应填: . 6．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 7．不等式对于任意的，存在成立，则实数的取值范围 为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由题意得对于任意的成立，即对