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专题11 隐圆问题 直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题 类型一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 典例1 如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解 类型二 由圆周角的性质确定隐形圆 典例2 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点， .当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得， ∴点在以为圆心，半径为2的圆上． 设的中点为，则，且． ∵当在圆上运动时，始终有为锐角， ∴以为圆心，半径为2的圆与以为圆心，半径为1的圆外离． ∴， 整理得， 解得或． ∴实数的取值范围为． 类型三 两定点A、B，动点P 满足确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： ） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 【答案】（1）略（2）能 【解析】：（1）略 （2）如图乙， 以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则，设缉私艇在P(x，y)处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 即, 因为圆心到领海边界线l：x ??3.8的距离为1.55，大于圆半径 所以缉私艇能在领海内截住走私船． 1．已知中， ， 所在平面内存在点使得，则面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】设，以所在直线为轴、其中垂线所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）， 则，设，由，得，即， 则， 则， 即， 解得，即， 即面积的最大值为. 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知B，C 为圆上两点， 点A(1,1)，且AB⊥AC，则线段BC 的长的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 设BC的中点为M (x,y)， ? ?, 因为， ? ?? 所以， ? ? ? ? ? ? ?? ? 化简得， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以AM的取值范围是，所以BC的取值范围是． 3．在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】原问题等价于以为圆心的圆与圆有两个交点， AB中点坐标为，以为圆心的圆的半径， 且圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为： ， 结合可得关于实数的不等式组： ， 求解关于实数的不等式组可得实数的取值范围为. 4．在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆： 外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为____． 【答案】4 【解析】根据题意,点A(?1,0),B(1,0)，若点满足， 则点P在以AB为直径的圆上， 设AB的中点为M,则M的坐标为 (0,0)， |AB|=2， 则圆M的方程为， 若圆上存在唯一一点满足，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切， 则有r+1=|MC|=，解可得r=4. 5．已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则 ，AC： 由得 ， 6.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为____________． 【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(2),2)，2＋\f(\r(2),2))) 【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝eq \f(1,\r(x2＋y2))，则x2＋y2＝4　①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1　②.由①②得1≤eq \r(a2＋（a－4）2)≤3，所以eq \f(4－\r(2),2)≤a≤eq \f(4＋\r(2),2).