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专题16 数列中项数问题 数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想． 类型一 整数解问题 典例1. 已知集合A={x|x=2n+1,n∈N*}，B={x|x=2n-1,n∈N*},C=A∪B．对于数列{an}，a1 (Ⅰ)写出a7，a (Ⅱ)数列{an}中，对于任意n∈N*，存在k (Ⅲ)数列{an}中，对于任意n∈N*，存在k∈N* 类型二 存在性问题 典例2已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且． （1）求a1； （2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由． 类型三 否定性问题 典例3等差数列的前项和为． （1）求数列的通项与前项和； （2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 1.公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋ eq \r(,2)，S3＝12＋ eq 3\r(,2)． （1）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn； （2）记cn＝ eq \f(Sn,n)，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct(r＜s＜t，r,s,t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由. 2.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； 3.设，试问数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由． 4.已知数列满足：，，数列满足：． （1）求数列，的通项公式； （2）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列． 5.已知等比数列的首项是，公比为2，等差数列的首项是，公差为，把中的各项按照如下规则依次插入到的每相邻两项之间，构成新数列： ，……，即在和两项之间依次插入中个项，则____________. 6.设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． 7. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，且 ． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项． 8. 若An=a1a2?an(ai=0或1,i=1,2,?,n)，则称An为0和1的一个n位排列，对于An，将排列ana1a2?an-1记为R1(An （Ⅰ）写出所有的最佳排列A3 （Ⅱ）证明：不存在最佳排列A5 （Ⅲ）若某个A2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A2k+1中 9．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1 （1）求证：数列{a （2）若数列{bn}满足：b ① 求数列{b ② 是否存在正整数n，使得i=1nbi 10．已知数列{an}的前n （1）求数列{an} （2）令bn=an2n-1，求数列 （3）令cn=anan+ 11．数列A 满足：a1 对任意i，j，都存在s，t，使得ai+a （I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2 （II）记S=a （III）若m=2018，求n的最小值． 12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值； （3）令cn＝anbn，记{cn}的前n项和为Tn，{1an }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对?n≥2, n∈N*，都有pn＝Tn-1n＋A 13．已知数列{an}满足(1-1a1)(1-1a （1）求数列{a （2）若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，S （3）是否存在k∈N*，使得akak+1 14．由1，2，?，n排列而成的n项数列an （1）满足条件的数列中，写出所有的单调数列． （2）当n=4时，写出所有满足条件的数列． （3）满足条件的数列an 15．设数列的前n项和为，已知（p、q为常数， ），又， ， . （1）求p、q的值； （2）求数列的通项公式； （3）是否存在正整数m、n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对；若不存在，说明理由. 16．已