圆锥曲线与方程知识点.docxVIP

WORD格式 专业资料整理 椭圆 1、椭圆的第一定义： 平面内一个动点 P 到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数 ( PF1 PF2 2a F1F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫 椭圆 . 这两个定点叫 椭圆的焦点 ，两焦点的距离叫作 椭圆的焦距 。 . 注意：若 ( PF1 PF2 F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段 F1 F2 ；若 ( PF1 PF 2 F1F2 ) ，则动点 P的 轨迹无图形 . 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程： x 2 y2 1 ( a b 0) ，其中 c2 a 2 b2 ； a 2 b2 2）．当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程： y 2 x2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a2 b 2 ； a2 b 2 注意： ①在两种标准方程中，总有 a＞ b＞ 0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： x2 y2 1 2 2 。 m n 或者 mx +ny =1 3、椭圆： x 2 y 2 1 (a b 0) 的简单几何性质 a 2 b 2 x2 2 （ 1）对称性： 对于椭圆标准方程 y 1 (a b 0) ：是以 x 轴、 y 轴 a2 b 2 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对 称中心称为椭圆的中心。 （ 2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形内， 所以椭圆上点的坐标满足 x a ， y b 。 （ 3）顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为 椭圆的顶点 。②椭圆 x 2 y 2 1 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1 ( a,0) ， A2 (a,0) ， a 2 b 2 B1 (0, b) ， B2 (0,b) 。 ③线段 A1 A2 ， B1 B2 分别叫做椭圆的 长轴 和短轴 ， A1 A2 2a , B1 B2 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 2c c 。②因为 （ 4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做 椭圆的离心率 ，用 e 表示，记作 e 2a a (a c 0) ，所以 e 的取值范围是 (0 e 1) 。 e 1 c 就越接近 a ，从而 b a 2 c 2 越小，因 e 越接近 ，则 a 此椭圆越扁； 反之， 越接近于 0 c 0 ，从而 b 越接近于 ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a b ， 就越接近 时， c 0 ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 y 2 a 。 注意： 椭圆 x2 y2 1的图像中线段的几何特征（如下图）： a2 b 2 x 2 y2 假设已知椭圆方程 1（ a 0,b 0 ），且已知椭 a 2 b2 圆的准线方程为 x a2 ，试推导出下列式子：（提示：用三角 c 函数假设 P 点的坐标 PF 1 PF 2 e PM 1 PM 2 1 4、椭圆的另一个定义： 到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有 PF1 PF2 e PM 1 PM 2 5、椭圆 x2 y 2 1 与 y 2 x2 1 (a b 0) 的区别和联系 a 2 b2 a 2 b2 标准方程 x 2 y 2 1 ( a b y 2 x 2 1 (a b 0) a 2 b2 0) 2 b2 a 图形 焦点 F1 ( c,0) ， F2 (c,0) F1 (0, c) ， F2 (0, c) 焦距 F1F2 2c F1 F2 2c 范围 x a ， y b x b ， ya 对称性 关于 x 轴、 y 轴和原点对称 顶点 ( a,0) ， (0, b) (0, a) ， ( b,0) 性质 长轴长 = 2a ，短轴长 = 2b 轴长 离心率 e c (0 e 1) a 准线方程 x a 2 y a 2 c c 焦半径 PF1 a ex0 ， PF2 a ex0 PF1 a ey0 ， PF2 a ey0 一般而言： 椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点； 离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于 0，椭圆越圆；当离心率越接近于 1 时，椭圆越扁。 直线与椭圆的位置关系 1. 将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式 来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。 椭圆方程的求解方法 要学会运用 待定系数法 来求椭圆方程， 即设法建立 a,