高考导数及其应用.docVIP

导数及其应用 导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝ eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)?为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx). 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)?处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ?曲线y＝f?x?在点P?x0，y0?处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′?x0?的切线，是唯一的一条切线. (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx)为f(x)的导函数． (4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))eq \a\vs4\al(′,)＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 5．定积分的概念 在eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 6．定积分的性质 (1)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)kf(x)dx＝keq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx(k为常数)； (2)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f1(x)dx±eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f2(x)dx； (3)eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx＝eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(c,a)f(x)dx＋eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,c)f(x)dx(其中a＜c＜b)． 求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质?3?进行计算. 7．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(b,a)，即eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx＝F(x)eq \a\vs4\al(|)eq \o\al(b,a)＝F(b)－F(a)． 8．定积分的几何意义 定积分eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S. ①S＝eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx；②S＝－eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(b,a)f(x)dx；③S＝eq \a\vs4\al(∫)eq \o\al(c,a)f