高考八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球（教师版）.docVIP

PAGE 第 PAGE \* Arabic 1页 共 NUMPAGES \* Arabic 11页 八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理． 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C ） A． B． C． D． （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。 （4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（ D ） （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，平面 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半 径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 ），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ② 2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆。 例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A． B． C． D．以上都不对 练习： 1、【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考，10】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ） A． B． C. D． 【答案】A 2、【河北衡水中学2017届高三上学期五调】三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是（ ） A． B． C. D． 【答案】B 3、【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，11】已知点在同一球的球面上，，若四面体外接球的球心恰好在侧棱上，，则这个球的表面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 4、已知三棱锥，在底面中，，，，，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出 2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径） 3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ② 例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为 。 （2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ D ） A．　 B.　 C. 4　 D. （4）已知三棱