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拉格朗日中值定理在高考题中的妙用 一．拉格朗日中值定理[1] 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： f [a,b] （i ） 在闭区间 上连续； f (a,b) （ii ） 在开区间 内可导； f b f a 则在 a,b 内至少存在一点 ，使得 f . b a 几何意义： 在满足定理条件的曲线上 y f (x) 至少存在一点p ( , f ( )) ，该曲线在该点处的切线平 行于曲线两端的连线AB （如图） 二．求割线斜率大小几何意义的利用 由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即 连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析. 2a2 例 1：（2011 年福建省质检理 19 题）已知函数f (x) x a ln x. x （Ⅰ）求f (x) 的单调递增区间； （Ⅱ）设a 1, g (x) f (x), 问是否存在实数 ，使得函数g (x) 上任意不同两点连线的斜率都 k 不小于 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由. k k 解（ Ⅰ）略 2 1 （Ⅱ）当a 1 时，g (x) 1 ，假设存在实数 ，使得的图象上任意不同两点连线 k 2 x x g (x ) g (x ) 的斜率都不小于 ，即对任意x x 0 ，都有 2 1 k , 即求任意两点割线斜率的大 k 2 1 x x 2 1 g (x ) g (x ) 小，由中值定理知存在x (x , x ) ，有g (x) 2
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