妙招——定比点差法.docxVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 定比点差法及其应用 秒杀秘籍：定比点差法原理 定比分点：若则称点为的入定比分点，若则 若且,则称调和分割,根据定义，那么也调和分割. 定理：在椭圆或双曲线中，设A,B为椭圆或双曲线上的两点。若存在P,Q两点，满足，，一定有 证明：若， ，则 则，有 ①—②得：即 例1:已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可重合），求的取值范围. 解：设， 则 即 ①—②得： 即 注意：根据两个调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式。两个分点式子齐上场才能解决问题，这是定比点差法的核心。 例2：过异于原点的点作椭圆的割线在椭圆上一点，是异于的一点，且满足,求证：点在直线上. 解：设则 则有 由于在椭圆上，故①② ①—②得： 同除以得 例3:（2008安徽）设椭圆，过点,左焦点为 求椭圆的方程. 当过点的有直线与椭圆相交于.在线段上取点满足.证明：点在某定直线上. 解：（1）. ，故令 ；故 ， 由于在椭圆上，故 ①—②得： 即 即 秒杀秘籍：有心曲线角平分线定理 三角形的内角平分线定理：在中，若是的平分线， 则有 证明;作交于，交于，设边上的高为， 易知， 定理：已知交椭圆长轴（短轴）于点， 是椭圆上关于长轴（短轴）对称的两点，直线交长轴（短轴）于， 则。 证明：连接，根据几何性质可得：为的角平分线，根据三角形内角平分线定理可知,令,则，，则 则，有 ①—②得：即 例4：（2018全国一卷19）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 解：（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或. 所以AM的方程为或. （2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以. 当l与x轴不重合也不垂直时，设，点关于轴对称的点, 根据几何性质可得：令为的角平分线，与轴交点为，下面通过证明与重合来证明，根据角平分线定理有：, 令,则则,，如图 ①—②得： 即 即与重合，所以.综上，. 例5：（2018北京文20压轴）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，．(1)求椭圆的方程；(2)若，求的最大值； (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为．若，和点 共线，求． 解：(1)由题意得，所以，又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． (2)设直线的方程为，由消去可得， 则，即， 设，，则，， 则， 易得当时，，故的最大值为． 设，，，， 设 有 ①—②得：即 ，同理，故 同时，由于过定点,故 结合⑤⑥可得，即． 1．已知椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于两点，且求直线的方程． 1.（1）；（2）设，，, ①—②得： 即 ． 2.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆、，是上一点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线的方程． 2.（1）；（2），故令 ；故 ， 由于在椭圆上，①—②得： 即 即，总在直线上． 3．已知椭圆的上下两个焦点分别为、，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的离心率为（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围． （Ⅰ）．（Ⅱ）当时，，显然成立；当时，，三点共线，；,设，， ①—②得： ， 即，如图，由于更加靠近椭圆边界，故取其作为参照点， 解得 综上， m的取值范围为。 4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且．（1）求椭圆方程；（2）对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T 的配对点的坐标；（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？ （1）（2）（3） 5.如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程． （Ⅰ）（Ⅱ）R在定直线x=﹣1上． 6.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且垂直于长轴的弦长为．（I）求椭圆C的标准方程；