有心曲线直径三角形的一个性质及应用.docVIP

学习数学，领悟数学，秒杀数学。 有心曲线直径三角形的一个性质及应用 我们把经过有心二次曲线中心的弦叫做直径，把顶点在有心曲线上且有一边是直径的三角形叫做有心曲线的直径三角形. 秒杀秘籍： 椭圆双曲线直径三角形性质 已知是椭圆的任一直径，点是椭圆上任意一点，若直线的斜率都存在，则. 已知是双曲线的任一直径，点是双曲线上任意一点，若直线的斜率都存在，则. 证明 设，因为是椭圆的直径，所以点的坐标为，所以.又因为点在椭圆上，所以有.两式相减得，所以. 1.（福建师大附中07-08学年上学期期末数学选修2-1,2-2）有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.定理：过圆上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1．（Ⅰ）写出该定理在椭圆中的推广,并加以证明；（Ⅱ）写出该定理在双曲线中的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论. 2.（湖北省黄冈中学2008-09年秋季高二数学期末考试试题（理科））已知双曲线的一条渐近线方程为,两条准线间的距离为,、是双曲线的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)直线过坐标原点且和双曲线交于两点、,点为双曲线上异于、的一点,且直线和的斜率、均存在,求的值. 3.如图，P是双曲线方程上异于顶点的任意一点，实轴端点为A、B，PA、PB分别交y轴于M、N，求证：为定值。 4.(2010北京崇文一模)已知椭圆短轴的一个端点,离心率.过作直线与椭圆交于另一点,与轴交于点(不同于原点),点关于轴的对称点为,直线交轴于点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求 的值. 5.(08届北京市昌平区第二学期高三第二次统练（理）)已知椭圆的一条准线方程是，其左、右顶点分别是，双曲线的一条渐近线方程为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线上一点， 连结交椭圆于点，连结并延长交椭圆于点， 若，求证：. 6.（北京门头沟区2010年高三一模文）已知定点,动点满足,线段与圆:交于点,过点作直线垂直于轴,过点作,垂足为.(Ⅰ)求动点的轨迹方程;(Ⅱ)求点的轨迹方程;( = 3 \* ROMAN III)过点作直线m,与点的轨迹交于M、N两点,C为点的轨迹上不同于M、N的任意一点,问是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由 yBAMNxPOC7.(2011年高考江苏卷理科第18题)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连接,并延长交椭圆于点,设直线的斜率为 y B A M N x P O C (1)若直线平分线段,求的值; (2)当时,求点到直线的距离; (3)对任意,求证: 8.(2008河南省高考精准测试试卷（三）（理）)中心在原点，集点在轴的椭圆的右焦点为，短轴的两个端点分别为（如图）延长交椭圆于点，延长与轴交于点. （Ⅰ）试用椭圆的长半轴和半焦距表示点坐标； （Ⅱ）过作轴的垂线，设点到的距离为，若求的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设是椭圆的左焦点，若△的周长为，求椭圆的方程. 9.（江苏省徐州市2008-2009学年度第一学期期末考试高二(文)）设，分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，）到，的距离之和为4.（1）求椭圆方程（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为.问：“点M，N关于原点对称”是＝的什么条件？证明你的结论. 10.(2009福建文)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点? (I)求椭圆的方程;(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆上是否存在这 样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由 11.（2009年高考福建卷理科第19题）已知分别为曲线与轴的左右两个交点，直线过点，且与轴垂直，为上异于点的一点，连结交曲线于点.(1)若曲线为半圆，点为圆弧的三等分点，试求出点的坐标；（2）如图，点是以为直径的圆与线段的交点，试问：是否存在，使得三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说 明理由. 12.（2010年高考山东理科卷的第21题）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点为顶点的三角形的周长为，现有一等轴双曲线，其顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为和