球面与椭球面上区域的等周不等式.pdfVIP

i.球面上区域的等周不等式 在 R+i内，以((0,...,0,r)为球心，:为半径的二维球面记为S(r),S(r)- {(0,...0,外)}的位置 向量场是Z(劝。利用北极{(0,..0,2r)的球极投影可以写成 4r2 2尸x,x Z(x)“x,x夕千4r2 X,X+4r2(0,.,0,1) (1.1) 这里二二(x,1x2,...,x.,伪是超平面xn+x=0内一向量，，是R+i内两向量的内 积.虑S(r)一{(0，二0,2r)}上一个光滑正则嵌入连通闭超曲面M，它围成的球面 区域为D，在球极投影下。m对应于xn+i=0」二超曲面M*，D对应于超平面 xn+i=。上的区域D*。设 {el(幻,e2(对，.，。，(劝}表示超平面x+i=。的标准正交 基，限制在M*上，en(x)二az(x)是Eli，的单位外法向量，利用 〔1.1)式.有 $r2e=(x),x 4r2 Ze(劝 = 一 e4(x) 二十二x,x+4r2 (二，二+4r2)2 16r3ei(x)二 (0，，0，互)，1;三，‘ (1.2) (二，二+4,2)2 下标 表‘示沿 ‘(二)的方向导数. 于是，球面5}(r)一{(。，-0,2r)I的第一基本形式系数为 16r4 9=.i二},(x)z,(})二(x,x+4r2)2dij (1.3) 用W1(x),w2(劝，.,Wn(x)表示。1W,e2W，二，en(x)的对偶基，限制在M，上， W-(x)=。，球面S,树一{(0,.0,2r)}的第一基本形式为 16r4 二‘E9aj(x)wi(x)wj(x)-(二，x十4r2)2}nW;x() (1.4) 这里F,n+-1嘴(x)是超平面x.+1=。的第一基本形式，即L.a1心(x)=E,1dxti. 从 (1.4)，有 dVpw (二，二，)十r‘2)n (1-6) vatU(，一“”·儿·。 这里dVa.=w1(x)八(x)八.，tiwn(x)，是1)的体积元素. 由于在球极投影下，Sn(r)一{(0,...0,2r)}上超曲面M映射到超平面xn十、二。 上超曲面M*，且限制在M，上、ul(x)=0,则从 (4)有 间 艺 峨 16rr461 Im 公 (1.6) 间 (二，二+4r2)2 这里二 〔M*，且 dAm- AN(i)一(一)‘一f