高考数学母题：内切球问题 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-42):内切球问题(356) 923 内切球问题 [母题]Ⅰ(14-42):(2002年上海交通大学保送生考试试题)正四棱锥内接于半径为R的球,且外切于半径为r的球,求证:≥+1. [解析]:如图,设正四棱锥S-ABCD的底边长为a,高SE=h,外接球球心为O,则点O在 SE上(h-R)2+(a)2=R2R=;又由正四棱锥的体积V=a2h=a2r+4× ×arr===(=k)=(=t 1)=(t-1=x0)=(x++2)≥+1. [点评]:多面体的内切球问题是球的基本问题,与圆类比可建立内切球的母题模型如下: 项目 圆 球 模型 Ⅶ 1.定义:与多边形各边均相切的圆叫做多边形的内 切圆; 2.性质:①任意三角形都有唯一的内切圆,内切圆的圆心到各边的距离相等,等于内切圆的半径; ②内切圆的半径等于三角形面积的二倍除周长. 1.定义:与多面体各面均相切的球叫做多面体的内 切球; 2.性质:①任意四面体都有唯一的内切球,内切球的球心到各面的距离相等,等于内切球的半径; ②内切球的半径等于四面体体积的三倍除表面积. [子题](1):(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)正四面体内切球的体积是V,则它的外接球的体积是( ) (A)8V (B)27V (C)64V (D)4V [解析]:把正四面体AB1D1D放置到如图所示的正方体中,则内切球的半径r=正方体的 中心O到平面AD1D的距离=B1C;外接球的的半径R=B1CR=3r,即半径比=1:3 体积比=1:27外接球的体积=27V.故选(B). 注:由该模型可得:①棱长为a的正方体的内切球半径r=;②与棱长为a的正方体各棱相切的球的半径r=a;③棱长为a的正四面体的内切球半径r=a. [子题](2):(2013年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设正三棱锥的底面边长为1,侧棱长为2,求其体积和内切球半径. [解析]:在正三棱锥A-BCD中,由正ΔBCD的边长为1正ΔBCD外接圆的半径=, 内切圆的半径=,又侧棱长为2正三棱锥的高AE=,斜高AF=正三棱 锥的体积V=,正三棱锥的表面积S=+内切球半径r==. 924 [母题]Ⅰ(14-42):内切球问题(356) 注:由本题的解法可提炼出求多面体内切球半径的解法程序:首先求多面体的表面积S和体积V,由r=求半径; [子题](3):(2006年江西高考试题)如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过 四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截 面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分 别是S1,S2,则必有( ) (A)S1?S2 (B)S1?S2 (C)S1=S2 (D)S1,S2的大小关系不能确定 [解析]:连OA、OB、OC、OD,则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-AFD+VO-BEFD,VA－EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC;又VA-BEFD=VA-EFC,而每个棱锥的高都是原四面体的内切球的半径SΔABD+SΔABE+SΔAFD+S四边形BEFD=SΔAFC+SΔAEC+SΔEFC,又ΔAEF公共面S1=S2.故选(C). 注:由内切球的性质:“多面体内切球的球心到各面的距离相等,等于内切球的半径”,把内切球的球心O与多面体的各顶点连接,可得一些棱锥,这些棱锥的高都是原多面体的内切球的半径,由此解决相关问题. [子题系列]: 1.(2006年山东高考试题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) (A)1: (B)1:3 (C)1:3 (D)1:9 2.(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空