高考数学母题：双曲线的离心率.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 419 [中国高考数学母题](第117号) 双曲线的离心率 离心率是双曲线的一个重要指标,用来刻画双曲线的形状;关于双曲线的离心率有三类基本问题:求双曲线的离心率、已知双曲线离心率的相关问题和求双曲线离心率的取值范围. [母题结构]:实半轴长、虚半轴长分别为a、b的双曲线的离心率e==,e∈(1,+∞). [母题解析]:略. 1.求离心率 子题类型Ⅰ:(2012年湖北高考试题)如图,双曲线-=1(a,b0)的两顶点 为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2, 切点分别为A,B,C,D.则:(Ⅰ)双曲线的离心率e= ; (Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值= . [解析]:(Ⅰ)在RtΔB2F2O中,由OA⊥B2F2|OB2||OF2|=|B2F2||OA|bc=ab2c2=a2(b2+c2)(c2-a2)c2=a2(2c2- a2)(e2-1)e2=2e2-1e2=(由e1,e2=舍去)e=;(Ⅱ)由直线B2F2:+=1直线OA:y=x点A(,)S2=4=4,又S1=2bc====. [点评]:寻找关于a,b,c等量关系是求离心率的关键,然后由a,b,c的等量关系及基本关系a2+b2=c2消去a,b,c其中之一,即可求出离心率. [同类试题]: 1.(2008年安徽高考试题己知双曲线=1的离心率为,则n= . 2.(1993年全国高考试题)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)2 2.相关问题 子题类型Ⅱ:(2017年天津高考试题)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 [解析]:由e=a=b;又由kPF=1=1c=4a2=b2=8.故选(B). [点评]:已知双曲线的离心率可以确定a,b,c中的任意二者的比值,进而可以确定a,b,c三者之间的比值;如若添加一个独立的条件,则可以确定双曲线的方程. [同类试题]: 420 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 3.(2017年北京高考试题)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= . 4.(2007年全国Ⅰ高考试题)己知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) (A) (B) (C) (D) 3.取值范围 子题类型Ⅲ:(2013年重庆高考试题)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为600的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) (A)(,2] (B)[,2) (C)(,+∞) (D)[,+∞) [解析]:由|A1B1|=|A2B2|这对直线关于x轴对称,故本题等价于过原点且倾斜角为600的直线与双曲线C有两个交点 tan300≤tan600(双曲线C的焦点在y轴上)e∈(,2].故选(A). [点评]:寻找关于a,b,c等量关系是求离心率的关键;通过建立关于a、b、c的不等式，即可转化为关于e的不等式进行求解,是求离心率的取值范围常用方法. [同类试题]: 5.(2017年全国Ⅱ高考试题)若a1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( ) (A)(,+∞) (B)(,2) (C)(1,) (D)(1,2) 6.(2004年全国高考试题)如果双曲线-y2=1与直线x+y=1有两个不同的交点,则该双曲线离心率的取值范围是( ) (A)(1,) (B)(,+∞)