高考数学母题：点集问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(2-11):点集问题(028) 65 点集问题 [母题]Ⅰ(2-11):(2014年安徽高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,ab=0,点Q满足=(a+b),曲线C={P|=acosθ+bsinθ,0≤θ≤2π},区域Ω={P|0r≤|≤R,rR},若C∩Ω为两段分离的曲线,则( ) (A)1rR3 (B)1r3≤R (C)r≤1R3 (D)1r3R [解析]:向量a,b是一组标准正交基,可坐标化a=(1,0),b=(0,1), 则=(,),=(cosθ,sinθ)曲线C是一个单位圆; 同理区域Ω是以Q(,)为圆心、半径范围为[r,R]的圆环;因为 C∩Ω为两段分离的曲线,由图易得1rR3.故选(A). [点评]:常见的点集有函数图像、曲线(含直线)、平面向量和平面 区域点集.解决点集问题的关键是寻找集合中的点所满足条件的几何意义,通过图形,分析求解;点集问题能很好的体现知识的交汇,且能有效的考查数形结合思想,因此,会逐渐成为高考中的热点. [子题](1):(1986年上海高考试题)若全集I={(x,y)|x、y∈R},A={(x,y)|=1,x、y∈R},B={(x,y)|y=x+1,x、y∈R},则CIA∩B=( ) (A)CIA (B)B (C) (D){(2,3)} [解析]:由A:=1y-3=x-2(x≠2)y=x+1(x≠2),即A是直线y=x+1上除点(2,3)外的点集ABCIA∩B= {(2,3)}.故选(D). 注:本题是高考中的点集问题的第一题,充分理解集合运算的意义是解决点集问题的关键,如CIA∩B表示在B中,而不在A中的点集. [子题](2):(2004年全国高中数学联赛试题)己知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b},若对于所有m∈R,均有M∩N≠,则b的取值范围是( ) (A)[-,] (B)(-,) (C)(-,) (D)[ -,] [解析]:因于所有m∈R,直线y=mx+b恒过点A(0,b),所以,M∩N≠直线y=mx+b与椭圆x2+2y2=3有交点点A(0,b)不在椭圆x2+2y2=3外02+2b2≤3b∈[-,].故选(A). 注:求两集合的交集是点集问题的中心,而两点集的交集的几何意义是两曲线的交点,这又是解析几何的核心,从而可利用数形结合思想求解. [子题](3): (2012年重庆高考试题)设平面点集A={(x,y)|(y-x)(y-)≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( ) (A)π (B)π (C)π (D) 66 [母题]Ⅰ(2-11):点集问题(028) [解析]:由(y-x)(y-)≥0,或,其表示的平面区域如图, (x-1)2+(y-1)2≤1表示以(1,1)为圆心,1为半径的圆及其内部区域,其面积为π A∩B所表示的平面图形为上述两区域的公共部分,如图阴影区域,由于圆和y= 均关于y=x对称,故阴影部分面积为圆的面积的一半,即.故选(D). 注:点集不仅可以表示函数图像、曲线(含直线)和平面向量,而且可以表示区域,区域的量化问题之一就是求面积.其中函数图象与区域:如果函数y=f(x)的图象为C,则:①满足y=f(x)的点P(x,y)在C上;②满足yf(x)的点P(x,y)在C上方;③满足yf(x)的点P(x,y)在C下方. [子题系列]: 1.(2012年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知集合M＝{(x,y)|x+y＝2},N＝{(