高考数学母题：指数切线不等式变式应用.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 705 [中国高考数学母题](第199号) 指数切线不等式变式应用 不等式ex≥x+1简单易证,具有明显的几何意义和切线背景,因此,我们把她称为指数切线不等式;指数切线不等式蕴涵着“以直代曲”、“化繁为简”的基本思想,她在高考中的表现可概括为“三种形式,三面应用”. [母题结构]:(Ⅰ)(指数切线不等式)ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立; (Ⅱ)(切线不等式引伸)①当x∈R时,若不等式:ex≥ax+1恒成立,则a=1;②当x≥0时,若不等式:ex≥ax+1恒成立,则a≤1; (Ⅲ)(切线不等式加强)①当x0时,求证:ex1+x+x2;②当0x1时,求证:ex1+x+x2. [母题解析]:略. 1.证明不等式 子题类型Ⅰ:(2007年辽宁高考试题)已知函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=(x). (Ⅰ)证明:当t2时,g(x)在R上是增函数; (Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当tk时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数; (Ⅲ)证明:f(x)≥. [解析]:(Ⅰ)由(x)=ex(2ex+e-x-t)当t2时,(x)0g(x)在R上是增函数; (Ⅱ)当x∈[a,b]时,(x)≤02ex+e-x-t≤0;令h(x)=2ex+e-x,则(x)=2ex-e-x只需取k=max{h(a),h(b)}; (Ⅲ)由f(x)≥2t2-2(ex+x)t+e2x+x2-≥0Δ=4(ex+x)2-8(e2x+x2-)≤0(ex-x)2≥1;由ex≥x+1(ex-x)2≥1. [点评]:指数切线不等式ex≥x+1具有把指数式ex放缩为简单的一次式x+1;因此,她在证明有关ex的不等式中,具有化繁为简的关键作用;当x0时,构造不等式:exax2+bx+c是高考命题的一个生长点,可以证明:①exx2;②exx2+1. [同类试题]: 1.(2012年山东高考试题)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)设g(x)=(x2+x)(x),其中(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x)1+e-2. 2.(2010年安徽高考试题)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当aln2-1且x0时,exx2-2ax+1. 2.不等式恒成立 子题类型Ⅱ:(2010年课标高考文科试题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2. (Ⅰ)若a=,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)当a=时,由f(x)=x(ex-1)-x2(x)=ex-1+xex-x=(x+1)(ex-1),由此列表如下:由表知,f(x)在(-∞, -1)和(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减; (Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥0当x≥0时,x(ex-1-ax)≥0当x≥0时,ex-1-ax≥0ex≥ax+1;令曲线C:y=ex,直线l:y=ax+1,则直线l与曲线C恒交于点A(0,1),曲线C在点A处的切线:y=x+1a≤1a的取值范围是(-∞,1]. [点评]:以指数切线不等式ex≥x+1为背景的不等式恒成立问题有:①当x∈R时,ex≥ax+1恒成立,则a=1;②当x∈R时,ex≥x+b恒成立,则b≤1;③当x≥0时,ex≥ax+1恒成立,则a≤1;④当x≥0时,ex≥x+b恒成立,则b≤1;当x0时,构造不等 706 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 式:exax2+bx+1恒成立,求参数的取值范围是高考命题的一个着力点,可以证明:①当a=1时,b≤-2(ln2-1);②当a=时,b≤1;③当b=1时,a≤;④当b=0时,a≤. [同类试题]: 3.(2013年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 4.(2010年课标高考理科试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2. (Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. 3.研究函数性质 子题类型Ⅲ:(2012